Семинар 7 — Мода и медиана: дискретные и интервальные ряды

О чём семинар

Речь о двух структурных средних — моде и медиане. В отличие от средней арифметической, они описывают не «центр тяжести» данных, а структуру ряда: какое значение встречается чаще всего (мода) и какое делит совокупность ровно пополам (медиана). Способ их расчёта зависит от типа ряда — дискретного (значения признака заданы отдельными числами) или интервального (значения сгруппированы по интервалам).

Дискретный ряд

Первый шаг всегда один и тот же — ранжирование, то есть упорядочивание значений от минимального к максимальному. Без него ни медиана, ни мода корректно не определяются.

Медиана. Тут два случая.

💡 При нечётном числе значений медиана — это значение элемента с номером (N+1)/2. Например, для 17 значений это (17+1)/2 = 9-й по счёту элемент ранжированного ряда. 💡 При чётном числе значений центрального элемента нет, поэтому берут два центральных и считают их среднее арифметическое. Для 20 значений это 10-й и 11-й элементы.

Мода в дискретном ряду определяется просто визуально — смотрим, какое значение повторяется чаще остальных. Если несколько значений повторяются одинаково часто, ряд называют мультимодальным (частный случай — бимодальный, две моды).

➕ В Excel функция МОДА возвращает только одно (минимальное) модальное значение. Чтобы найти вторую моду, нужно убрать из ряда строки с первой модой и применить функцию повторно. На практике, особенно с непрерывными финансовыми показателями, мультимодальность встречается редко.

Интервальный ряд

Здесь и мода, и медиана считаются по формулам, поэтому подготовка таблицы важнее.

Подготовка.

• Середины интервалов. Для интервалов с открытой (неизвестной) границей высоту берут по соседнему интервалу: у первого интервала — по второму, у последнего — по предпоследнему. Середина — это полусумма границ.
• Накопленные частоты. Каждая следующая накопленная частота — это сумма всех частот до данного интервала включительно (к предыдущему накопленному значению прибавляем текущую частоту). У последнего интервала накопленная частота равна сумме всех частот (здесь — 100%).

Мода. Сначала находим модальный интервал — с наибольшей частотой. Затем по формуле:

Мо = x₀ + h · (f_M − f_{M−1}) / ((f_M − f_{M−1}) + (f_M − f_{M+1}))

📐 Разбор формулы:

• Мо — мода; x₀ — нижняя граница модального интервала; h — его ширина (длина);
• f_M — частота модального интервала (наибольшая); f_{M−1} — частота предыдущего интервала; f_{M+1} — частота следующего;
• · — умножение, / — деление, − — вычитание, + — сложение.

Как работает: от нижней границы модального интервала отступают часть его ширины. Числитель — насколько модальный интервал «обгоняет» предыдущий; знаменатель — сумму превышений над предыдущим и следующим. Дробь сдвигает моду к тому соседу, чья частота ближе к модальной.

где x₀ — нижняя граница модального интервала, h — его высота (длина), f_M — частота модального интервала, f_{M−1} и f_{M+1} — частоты предмодального и послемодального интервалов.

Медиана. Находим медианный интервал: делим сумму частот пополам (здесь 100/2 = 50) и в столбце накопленных частот ищем первый интервал, накопленная частота которого впервые достигает или превышает эту половину. Затем по формуле:

Me = x₀ + h · (ΣF/2 − S_{M−1}) / f_Me

📐 Разбор формулы:

• Me — медиана; x₀ — нижняя граница медианного интервала; h — его ширина;
• ΣF — сумма всех частот, ΣF/2 — её половина; S_{M−1} — накопленная частота предыдущего интервала; f_Me — частота самого медианного интервала;
• · — умножение, / — деление, − — вычитание.

Как работает: медиана делит ряд пополам. От нижней границы медианного интервала прибавляют часть ширины: в числителе — сколько частот не добрали до половины, делённое на частоту интервала. Так находят точку внутри интервала, где проходит граница «половины данных».

где ΣF/2 — половина суммы частот, S_{M−1} — накопленная частота предшествующего интервала, f_Me — частота самого медианного интервала.

⚠️ Главная сложность — не перепутать, что стоит в числителе, а что в знаменателе. Если держать в голове смысл формул, путаницы не возникает.

Связь моды, медианы и средней

Соотношение трёх показателей характеризует форму распределения: при симметричном ряде мода, медиана и средняя близки или совпадают; чем сильнее они расходятся, тем асимметричнее ряд. Существует и приближённое свойство взаимосвязи между ними (соотношение их разностей примерно кратно трём).

Тема семинара

Закрепление расчёта моды и медианы как представителей структурных средних. Разбираются три задачи: два дискретных ряда (с чётным и нечётным числом значений) и интервальный ряд. Преподаватель намеренно «притормаживает» быстрых студентов, чтобы все успевали. Расчёты можно вести вручную либо в Excel (шаблон с уже ранжированными данными прикрепляется в Smart LMS); владение Excel дисциплиной не требуется, но рекомендуется.

Задача 1 — дискретный ряд, чётное число значений

Условие. Определить среднее значение, моду и медиану по данным о численности персонала 20 предприятий лёгкой промышленности; сделать выводы. (Данные в условии идут двумя блоками по 10 предприятий.)

Тип ряда: дискретный (интервалов нет) → мода и медиана по упрощённому варианту.

Шаги решения:

1. Ранжирование ряда от минимального значения к максимальному. Минимум — 313 (предприятие №6), максимум — 565 (предприятие №20). После ранжирования номера предприятий идут вразнобой.
2. Среднее значение: суммируем все 20 значений → 8 581, делим на 20 → 429 человек (до целых).
3. Медиана. Число значений чётное (20), поэтому медиана = среднее арифметическое двух центральных элементов — 10-го и 11-го (в них попали 7-е и 18-е предприятия со значениями 412 и 420): (412 + 420) / 2 = 416.

   Формула (N+1)/2 применяется только для нечётного числа значений; при чётном берут два центральных.

4. Мода. Ряд бимодальный: два значения повторяются по два раза — 402 и 432; остальные значения встречаются по одному разу.

Выводы: у 50% предприятий численность персонала менее 416 человек, у другой половины — более 416 (по медиане). Наиболее часто встречающаяся численность персонала — 402 и 432 (две моды).

Задача 2 — дискретный ряд, нечётное число значений

Условие. Определить среднее значение, моду и медиану по данным о валовой продукции 17 предприятий пищевой промышленности (показатель — в млн руб.).

Тип ряда: дискретный, с нечётным числом значений.

Шаги решения:

1. Ранжирование ряда (в шаблоне Excel ряд уже ранжирован).
2. Среднее значение: сумма ≈ 89,4 млн (≈ 89 млн), делим на 17 → ≈ 5,26 млн руб. (значение зависит от числа знаков после запятой).
3. Медиана. Число значений нечётное (17), поэтому медианный элемент — центральный, с номером (17+1)/2 = 9. Это девятый по счёту элемент ранжированного ряда → Me = 5,1 млн руб.
4. Мода. Снова мультимодальность: моды — 3,8 и 5,1. Одна из мод (5,1) совпадает с медианой.

Выводы: у 50% предприятий валовой объём продукции меньше 5,1 млн руб., у другой половины — больше. Наиболее часто встречающиеся объёмы — 3,8 и 5,1 млн руб.

Мода и медиана здесь совпали, а среднее (≈5,26) близко к ним → ряд можно считать симметричным (симметричная совокупность).

Задача 3 — интервальный ряд

Условие. Определить величину среднедушевого дохода в регионе за месяц, найти моду и медиану, построить график, сделать выводы. Частота задана в процентах численности населения (сумма = 100%).

Тип ряда: интервальный (вариационный) → мода и медиана считаются по формулам.

Подготовка таблицы

1. Середины интервалов. Для интервалов с открытыми границами высоту определяют по соседнему интервалу:
   • первый интервал — по высоте второго (200): принимаем границы 200–400, середина = 300;
   • последний интервал — по высоте предпоследнего (400): принимаем границы 2000–2400, середина = 2200;
   • середины остальных интервалов считаются как полусумма границ.
2. Сумма среднедушевого дохода по группам: произведение частоты (численности населения в %) на середину интервала. Суммирование по всем группам → 103 510.
3. Накопленные частоты: последовательное прибавление частот. Перед первым интервалом частота условно равна нулю, поэтому первая накопленная частота равна частоте первого ряда (2,3). Далее: 2,3 + 6,5 = 8,8; 8,8 + 16,7 = 25,5; 25,5 + 24,4 = 49,9; и так далее до 100% в последнем ряду.

Среднее значение

Сумму среднедушевого дохода делим на сумму частот (100%): 103 510 / 100 ≈ 1 035.

Мода

1. Модальный интервал — с наибольшей частотой. Здесь наибольшая частота 30,2 в интервале 1000–1200 (пятая группа).
2. Формула: Мо = x₀ + h · (f_M − f_{M−1}) / ((f_M − f_{M−1}) + (f_M − f_{M+1})).

📐 Разбор формулы:

• Мо — мода; x₀ — нижняя граница модального интервала; h — его ширина;
• f_M — частота модального интервала; f_{M−1} — предыдущего; f_{M+1} — следующего;
• · — умножение, / — деление, − — вычитание, + — сложение.

Как работает: от нижней границы модального интервала отступают долю ширины. Числитель — превышение над предыдущим интервалом, знаменатель — сумма превышений над предыдущим и следующим; дробь сдвигает моду к более «весомому» соседу.

3. Подстановка: x₀ = 1000, h = 200, f_M = 30,2, f_{M−1} = 24,4, f_{M+1} = 10,5.
   • Числитель: 30,2 − 24,4 = 5,8.
   • Знаменатель: (30,2 − 24,4) + (30,2 − 10,5) = 5,8 + 19,7 = 25,5.
   • Мо = 1000 + 200 · (5,8 / 25,5) = 1000 + 200 · 0,2274 ≈ 1 045.

Медиана

1. Медианный интервал. Половина суммы частот: 100 / 2 = 50. В столбце накопленных частот ищем интервал, где накопленная частота впервые достигает 50: предыдущее значение 49,9 (меньше 50), поэтому медианный интервал — тот же 1000–1200 (пятая группа).
2. Формула: Me = x₀ + h · (ΣF/2 − S_{M−1}) / f_Me.

📐 Разбор формулы:

• Me — медиана; x₀ — нижняя граница медианного интервала; h — его ширина;
• ΣF/2 — половина суммы частот; S_{M−1} — накопленная частота предыдущего интервала; f_Me — частота медианного интервала;
• · — умножение, / — деление, − — вычитание.

Как работает: от нижней границы медианного интервала прибавляют часть ширины — ту долю, на которой проходит «половина данных». В знаменателе стоит именно частота медианного интервала (не накопленная) — это частая точка путаницы.

3. Подстановка: x₀ = 1000, h = 200, ΣF/2 = 50, S_{M−1} = 49,9, f_Me = 30,2.
   • Me = 1000 + 200 · (50 − 49,9) / 30,2 = 1000 + 200 · (0,1 / 30,2) ≈ 1000 + 200 · 0,0033 ≈ 1 000,7.

Выводы и график

• Наиболее часто встречающееся значение среднедушевого дохода — около 1 045 (мода).
• У половины жителей региона среднедушевой доход больше ≈1 000,7, у другой половины — меньше (медиана).
• Среднее ≈ 1 035. Мода, медиана и среднее различаются заметнее, чем в задаче 2 → ряд асимметричный; есть приближённое свойство соотношения их разностей (кратность трём).
• Для интервального ряда график строится в виде столбчатой диаграммы; разными цветами можно выделить модальный и медианный интервалы.

Организационные моменты

• Задачи 1–3 разобраны на семинаре; задачи 4–5 будут разобраны на следующем семинаре (продолжение темы «мода и медиана»).
• Отдельная задача отмечена как самостоятельная работа (ДЗ): прорешать за неделю, отправить до начала занятий в следующую среду (дедлайн днём). Оценивается по факту сдачи (сдал / не сдал), без проверки точности расчётов.
• Через две недели запланирован микроконтроль по теме структурных средних — короткий тест через Smart LMS в начале лекции.
• На контрольной работе (с прокторингом) разрешено пользоваться Excel, но шаблонов не будет — только текст задачи. Пробный/примерный вариант контрольной и график работ — в общей папке «организационные вопросы» в Smart LMS.
• По пятницам проводится консультация по предварительной записи.