Входим через Telegram…
Конспект и транскрипт одним файлом
Загрузите его в ChatGPT, Claude или NotebookLM и спрашивайте по занятию: что говорили про задания и сроки, объясни непонятную тему, составь вопросы для повторения.
Средние величины делятся на степенные (арифметическая, гармоническая, геометрическая) и структурные (мода, медиана — будут на следующей лекции). Сегодня — только степенные.
Главная мысль: какой именно вид средней использовать — определяется тем, какие данные даны в задаче.
Средняя величина — это один обобщающий показатель, который заменяет множество отдельных значений и показывает их «типичный» уровень. С нахождением среднего человек сталкивается постоянно: средняя зарплата, средний возраст, средняя цена.
Все средние величины делятся на две большие группы:
Самый знакомый вид. Чтобы найти среднюю, нужно сложить все значения и разделить сумму на их количество.
Пример: известны зарплаты 10 работников предприятия. Складываем все зарплаты (получаем фонд оплаты труда — например, 85 500) и делим на число работников (10). Результат — средняя зарплата.
Формула простой средней арифметической: сумма значений делится на их число (N). Отдельные значения признака называют вариантами (X), а N — это число вариантов.
⚠️ Уточнение: в устном объяснении буквы X и F несколько раз менялись местами (то X — варианта, то X — частота). Запомните строго так: X — это варианта (само значение признака, например зарплата или возраст), F — это частота (сколько раз значение встречается, какой у него «вес»). Дальше по тексту используется именно это обозначение.
Простая средняя арифметическая применяется в двух случаях:
Ещё пример: по годам даны число организаций с забастовками, численность участников и потери рабочего времени. Чтобы найти среднюю численность участников на одну организацию, делим общую численность работников на число организаций. Например, 357 600 человек ÷ 6 273 организации ≈ 57 человек на организацию. Аналогично можно найти средние потери рабочего времени на одну организацию (или на одного участника), деля потери времени на нужный знаменатель.
💡 Понятнее: простая средняя — это частный случай взвешенной, где у всех значений одинаковый вес. Если веса равны, формула взвешенной превращается в обычное «сумма ÷ количество».
Используется, когда частоты не равны между собой — то есть одни значения встречаются чаще, другие реже, и это надо учесть.
Идея: каждое значение (X) умножаем на его частоту (F), все произведения складываем, а затем делим на сумму частот (ΣF).
Пример (средний возраст): в коллективе есть сотрудники разного возраста. Возраст 26 лет встречается у 2 человек, 24 года — у 3 человек и т.д. Считаем: (26·2 + 24·3 + ...) ÷ 13 = 23,4 года. В числителе — суммарный «возраст всех сотрудников вместе», в знаменателе — общее число сотрудников (13).
Пример (средняя выработка за смену): по группам рабочих даны разные нормы выработки (например, кто-то делает по 20 штук, кто-то по 10) и число рабочих в каждой группе. Перемножаем выработку на число рабочих, суммируем и делим на общее число рабочих (20) — получаем ≈ 14,15 штуки.
Если итог — это количество людей, его округляют до целого, причём по сложившейся практике обычно в большую сторону. Логика: если «лишнюю» долю человека убрать, его нагрузка распределится на остальных; если округлить вверх — нагрузка распределится полностью и корректно.
⚠️ Уточнение: строгое математическое правило — округление по стандартным правилам (0,5 и выше — вверх, ниже — вниз). «Всегда вверх» для числа людей — это практическая рекомендация преподавателя, удобная при расчёте нагрузки, а не общее математическое правило. Если же средняя относится к возрасту, цене, выработке в штуках и т.п., она вполне может быть дробной (23,4 года — нормальный ответ).
Частоты не обязательно брать в натуральных единицах (число людей) — можно взять их доли (проценты). Это опирается на свойство: если все частоты разделить на одно и то же число, средняя не изменится.
Пример: дана успеваемость по вузу в виде долей студентов с каждой оценкой (в сумме 100%). Перемножаем оценки на их доли и суммируем — получаем средний балл по университету. Если доля «неудов» равна нулю, значит, неуспевающих в вузе нет.
Это более сложный случай: данные сгруппированы в интервалы (например, доход «от 200 до 400», «от 400 до 600» и т.д.), и точного значения внутри интервала мы не знаем.
Главный приём: вместо значения берётся середина интервала. Середина = (нижняя граница + верхняя граница) ÷ 2.
📐 Разбор формулы:
- середина интервала — одно число, заменяющее весь интервал в расчётах;
- нижняя граница и верхняя граница — концы интервала;
- + — сложение; ÷ 2 — деление пополам.
Как работает: внутри интервала точных значений нет, поэтому за «типичное» берут полусумму границ — точку посередине. Это допущение, что значения распределены по интервалу равномерно. Либо то же самое: высоту (ширину) интервала делим пополам и прибавляем к нижней границе. Например, для интервала 400–600 ширина 200, середина = 400 + 100 = 500.
Открытые крайние интервалы (где нет нижней или верхней границы — «до 400», «от 1000 и выше») закрывают по ширине соседнего интервала. Если соседние интервалы шириной 200, то первый интервал считают как 200–400 (середина 300), а последний — как 1000–1200 (середина 1100).
Дальше — обычная взвешенная средняя: середину каждого интервала умножаем на его частоту (например, численность населения в %), произведения складываем и делим на сумму частот (100%).
Пример со среднедушевым доходом: перемножив середины интервалов на доли населения и сложив, получили итог 57 940; делим на 100 — средний среднедушевой доход 579,4.
Это преобразованная средняя арифметическая. Нужна, когда в данных нет прямого значения частоты (например, объёма), но его можно восстановить из других показателей.
Классический пример — расчёт средней цены по нескольким магазинам. Данные могут быть даны двумя способами:
📐 Разбор формулы:
- выручка — сумма денег, полученная за товар (цена × объём);
- цена — стоимость единицы товара;
- объём — количество проданного; ÷ — деление.
Как работает: когда объём прямо не дан, его восстанавливают: выручку делят на цену. На этом и строится средняя гармоническая — если вместо количества дано его произведение с ценой (выручка, затраты), объём «достают» делением, а затем считают среднюю.
Ключевой смысл: оба способа дают одинаковый результат средней цены (в примере — 28,7). Гармоническая средняя — это та же взвешенная арифметическая, просто «развёрнутая» под ситуацию, когда дан не объём, а его произведение с ценой.
💡 Понятнее: запомните рабочий признак. Если дано само количество (объём, число штук) — берём взвешенную арифметическую. Если вместо количества дан результат «цена × количество» (выручка, затраты, фонд) — берём гармоническую. Формула гармонической: общий итог в числителе, а в знаменателе — сумма дробей «итог ÷ значение».
Другие примеры на гармоническую:
Используется для расчёта среднего коэффициента роста в рядах динамики (когда что-то растёт или снижается от периода к периоду).
Идея: коэффициенты роста (цепные — каждый период к предыдущему) перемножают между собой, а затем извлекают корень. Степень корня равна N − 1, где N — число периодов (уровней ряда).
Пример: дан выпуск продукции по 4 кварталам. Между кварталами получаются 3 цепных коэффициента роста (2-й к 1-му, 3-й ко 2-му, 4-й к 3-му). Перемножаем эти 3 коэффициента и извлекаем корень 3-й степени (потому что N − 1 = 4 − 1 = 3). Результат — средний квартальный коэффициент роста (в примере ≈ 1,69).
➕ Преподаватель не упомянул: почему именно перемножение, а не сложение. Коэффициенты роста — это множители (рост «в разы»). Чтобы получить «средний множитель», который при повторном применении даёт тот же итог, их надо перемножить и взять корень, а не складывать. Складывать множители нельзя — это исказит итоговый рост.
💡 Понятнее: степень корня всегда равна числу самих коэффициентов. Коэффициентов на один меньше, чем уровней ряда: 4 квартала → 3 коэффициента → корень 3-й степени. В Excel то же самое делает функция средней геометрической (СРГЕОМ).
Средние величины делятся на:
Формула: сумма значений ÷ число вариантов (N). Значения признака — варианты (X), N — их число.
Применяется, когда: данные не сгруппированы ИЛИ все частоты равны.
Задача (зарплата): даны зарплаты 10 работников. Фонд оплаты труда (сумма всех зарплат) = 85 500; делим на 10 → средняя зарплата.
Задача (забастовки): по годам даны число организаций, численность участников, потери рабочего времени. Нужно найти: среднюю численность участников на 1 организацию, средние потери времени на 1 организацию, средние потери на 1 участника.
Формула: Σ(X·F) ÷ ΣF. Применяется, когда частоты не равны.
📐 Разбор формулы:
- X — варианта (значение признака, например зарплата или возраст);
- F — частота (сколько раз встречается значение, его «вес»);
- X·F — произведение значения на его частоту;
- Σ — сумма (греческая «сигма», знак суммирования по всем группам);
- ÷ — деление.
Как работает: каждое значение умножают на его частоту (более частые значения весят больше), произведения складывают и делят на сумму частот. Так среднее учитывает, что одни значения встречаются чаще других. Простая средняя — частный случай, когда все веса равны.
Задача (средний возраст): в ООО сотрудники разного возраста (26 лет — 2 чел., 24 года — 3 чел. и т.д., всего 13 чел.). Σ(возраст·количество) ÷ 13 = 23,4 года.
Задача (выработка за смену): 5 групп рабочих с разной выработкой (от 10 до 20 штук), всего 20 рабочих. Σ(выработка·число рабочих) ÷ 20 = 14,15 ≈ 15 штук.
Обсуждение округления (вопрос студентки):
Опирается на свойство: если все частоты разделить на одно число, средняя не меняется → можно считать по долям (%).
Задача (средний балл вуза): успеваемость дана в долях студентов по оценкам (Σ = 100%). Σ(оценка·доля) → средний балл. Доля «неудов» = 0 → неуспевающих нет.
Вместо значения берётся середина интервала = (нижняя + верхняя граница) ÷ 2, или: ширину интервала ÷ 2 + нижняя граница.
📐 Разбор формулы:
- середина интервала — число, представляющее весь интервал; нижняя и верхняя граница — его концы;
- ширина интервала — длина интервала; + — сложение; ÷ 2 — деление пополам.
Как работает: точных значений внутри интервала нет, поэтому берут полусумму границ (точку посередине). Второй способ — то же самое: к нижней границе прибавляют половину ширины.
Открытые интервалы закрывают по ширине соседнего: первый «до 400» при соседней ширине 200 → 200–400 (середина 300); последний «от 1000» → 1000–1200 (середина 1100).
Задача (среднедушевой доход): интервалы дохода + численность населения (в %). Перемножаем середину интервала на численность (напр., 30,2·300 = 9 060), суммируем по группам → 57 940; делим на 100% → 579,4.
Преобразованная средняя арифметическая. Применяется, когда вместо количества дан результат его умножения (выручка, затраты).
Задача (средняя цена по 3 магазинам):
📐 Разбор формулы:
- цена — стоимость единицы (значение X); объём — количество (частота F);
- цена·объём — выручка по позиции; Σ — сумма; ÷ — деление.
Как работает: это обычная взвешенная средняя — цены взвешивают объёмами продаж. Суммарную выручку делят на суммарный объём, получая среднюю цену с учётом того, сколько чего продано.
📐 Разбор формулы:
- выручка — деньги за товар; цена — стоимость единицы; выручка÷цена — восстановленный объём;
- Σ — сумма; ÷ — деление.
Как работает: это средняя гармоническая. Объём прямо не дан, поэтому его получают делением выручки на цену. Затем общую выручку делят на сумму восстановленных объёмов — результат совпадает со взвешенной арифметической, просто данные «развёрнуты» иначе.
Задача (средняя себестоимость по предприятию): даны себестоимость единицы по 3 филиалам и общие затраты. Средняя себестоимость = Σзатраты ÷ Σ(затраты филиала ÷ себестоимость филиала) = 140 ₽.
📐 Разбор формулы:
- затраты — общие расходы филиала; себестоимость филиала — стоимость единицы продукции;
- затраты ÷ себестоимость — восстановленный объём продукции; Σ — сумма; ÷ — деление.
Как работает: ещё один случай средней гармонической. Количество продукции не дано — его достают делением затрат на себестоимость единицы. Суммарные затраты делят на суммарный восстановленный объём — получают среднюю себестоимость единицы по всему предприятию.
Задача (себестоимость / количество продукции): связаны количество, себестоимость единицы и общие затраты. Зная любые два, находим третий: количество = затраты ÷ себестоимость. Средняя себестоимость — через соотношение суммарных затрат и суммарного количества.
Задача (средняя цена за полугодие по регионам): даны Пермский край, Свердловская область, Башкортостан; за 1-й квартал — цена и объём, за 2-й — цена и выручка. Средняя цена за 1-й квартал ≈ 79,3; за 2-й квартал считается обратным способом (через соотношение); средняя за полугодие = средняя из двух квартальных средних (или одной общей формулой).
Для среднего коэффициента роста в рядах динамики. Коэффициенты роста перемножают и извлекают корень степени N − 1 (N — число периодов).
📐 Разбор формулы:
- N — число периодов (уровней ряда);
- N − 1 — число цепных коэффициентов роста (их всегда на один меньше, чем периодов) и одновременно степень корня;
- корень — извлечение корня из произведения; − — вычитание.
Как работает: коэффициенты роста — это множители (рост «в разы»), поэтому их перемножают, а не складывают, и берут корень степени N−1, чтобы получить средний множитель. Степень корня равна числу самих коэффициентов: 4 периода → 3 коэффициента → корень 3-й степени.
Задача (выпуск продукции по кварталам): 4 квартала → 3 цепных коэффициента роста. Перемножаем 3 коэффициента, извлекаем корень 3-й степени → средний коэффициент роста ≈ 1,69. В Excel — функция средней геометрической (СРГЕОМ), результат совпадает с ручным расчётом.
Про использование Excel (вопрос студента): окончательное решение, можно ли пользоваться Excel на контрольной, преподаватель примет позже. Опасение — что при использовании Excel теряется контрольная функция (умение применить нужную формулу). Договорились, что важно знать не столько как считается формула, сколько где её применить.
Загружаю транскрипт…