Семинар 5 — Средние величины и темпы изменения

Главная развилка: какую среднюю выбрать

Весь семинар держится на одном вопросе — какую именно среднюю применять к конкретным данным. Выбор не произвольный: он диктуется природой показателей.

• Средняя арифметическая простая — когда складываем однородные значения и делим на их количество (например, средний объём производства за несколько лет).
• Средняя арифметическая взвешенная — когда у каждого значения есть «вес» (частота): число рабочих в группе, объём проданного товара. Тогда нельзя просто сложить значения и поделить — нужно учесть, что одни значения встречаются чаще других.
• Средняя геометрическая — когда усредняем коэффициенты роста (цепные индексы). Складывать и делить их нельзя, их перемножают и извлекают корень.

🗣 Преподаватель сказал: «Если мы говорим про коэффициенты, то мы с вами применяем среднюю геометрическую».

Середина интервала

Когда данные даны интервальным рядом (например, зарплата от 40 до 42, от 42 до 44 и т.д.), для расчётов каждый интервал заменяют одним числом — его серединой. Середина равного интервала — это полусумма его границ.

⚠️ Уточнение: на этом семинаре в первой задаче интервалы равные и закрытые, поэтому середины (41, 43, 45, 47, 49) находятся просто. А вот в задаче про среднедушевой доход интервалы неравные, и крайние интервалы открытые (нет нижней границы у первого и верхней у последнего).

Для открытого крайнего интервала ширину достраивают по соседнему: если у второй группы интервал шириной 200, то первому условно приписывают такую же ширину и берут его середину; аналогично с последним интервалом по ширине предпоследнего.

💡 Понятнее: открытый интервал — это «свыше 2000» без верхнего потолка. Чтобы получить его середину, мы смотрим, какой шаг был у предыдущей группы, и продлеваем тем же шагом.

Средняя взвешенная на практике

Чтобы найти среднюю зарплату рабочего по цеху, нельзя усреднять середины интервалов «в лоб» — это дало бы среднее по группам, а не на одного человека. Правильный путь:

1. Для каждой группы умножаем середину интервала (значение признака X) на число рабочих (частоту F) — получаем фонд зарплаты группы.
2. Суммируем фонды всех групп — это итоговый фонд по цеху.
3. Делим итоговый фонд на общее число рабочих — получаем среднюю зарплату на одного рабочего.

🗣 Преподаватель сказал: середину интервала умножаем на количество рабочих, складываем по группам, а затем «суммарный фонд зарплаты цеха разделить на число работающих» — это и есть средняя взвешенная.

➕ Преподаватель не упомянул: по сути формула средней взвешенной — это сумма (X · F), делённая на сумму F. «Простая» средняя — её частный случай, когда все веса равны.

Абсолютное и относительное изменение

Когда сравниваем два периода (или два объекта), «изменение» бывает двух видов:

• Абсолютное отклонение — это разница между показателями: из отчётного (более позднего) периода вычитаем базисный. Может быть и отрицательным, если показатель снизился.
• Относительное отклонение — это отношение: отчётный делим на базисный, умножаем на 100 и вычитаем 100. Результат — изменение в процентах.

🗣 Преподаватель сказал: «если стоит слово „изменение“, не указано абсолютное либо относительное, мы всегда находим и то, и другое».

⚠️ Уточнение: направление вычитания важно. Берём именно последний (отчётный) период относительно первого (базисного): отсюда «второй квартал минус первый», а не наоборот.

Средняя геометрическая для среднегодового темпа

Чтобы найти средний темп изменения за несколько лет, считаем цепные коэффициенты роста (каждый год к предыдущему), а затем усредняем их геометрически.

• Коэффициент роста года = значение текущего года / значение предыдущего. Это цепной показатель.

📐 Разбор формулы:

• значение текущего года и значение предыдущего — уровни ряда за два соседних года;
• / — деление.

Как работает: делим уровень года на уровень предыдущего — получаем, во сколько раз показатель изменился за год. Это цепной коэффициент (каждый год к предыдущему); перемножив все такие коэффициенты, получают общий рост за период.

• Перемножение всех цепных коэффициентов даёт базисный коэффициент роста за весь период (последний год к первому).
• Средняя геометрическая = корень степени n из произведения n коэффициентов.

📐 Разбор формулы:

• n — число коэффициентов роста; произведение n коэффициентов — все коэффициенты, перемноженные между собой;
• корень степени n — извлечение корня этой степени.

Как работает: коэффициенты роста перемножают (а не складывают, ведь это множители), а корень степени n возвращает «средний множитель» — тот, что при повторении n раз даёт тот же итоговый рост. Складывать коэффициенты нельзя — это исказило бы результат.

💡 Понятнее: если перемножить все годовые коэффициенты, лишние множители сокращаются и остаётся отношение последнего года к первому. Поэтому под корнем средней геометрической стоит именно итоговый коэффициент роста за период.

⚠️ Уточнение: на семинаре сравнили среднюю геометрическую с простой арифметической по коэффициентам — числа вышли близкими, но не одинаковыми. При малых и близких коэффициентах расхождение незаметно, но при больших колебаниях оно становится существенным, и арифметическая средняя по коэффициентам даёт неверный результат.

Среднегодовой темп прироста = средний коэффициент роста минус 1 (в процентах: минус 100%).

📐 Разбор формулы:

• средний коэффициент роста — средний множитель за год (например, 1,06);
• минус 1 (или минус 100%) — переход от «во сколько раз» к «на сколько».

Как работает: коэффициент 1,06 означает «в 1,06 раза», то есть рост на 6%. Вычитание 1 (или 100%) отбрасывает исходную «единицу» и оставляет именно прирост — на сколько процентов показатель растёт в среднем за год.

Тема семинара

Пятый семинар закрепляет материал лекции по средним величинам (арифметическая, гармоническая, геометрическая) и индексам/коэффициентам роста. Решается пять практических задач в Excel; преподаватель ведёт занятие — Мальцева Анастасия Павловна.

Задача 1. Средняя зарплата по двум цехам (средняя взвешенная)

Условие. По двум цехам дано распределение работников по заработной плате (интервальные ряды, равные интервалы). Определить, в каком цехе и на сколько процентов была выше средняя зарплата рабочих.

Решение по шагам:

1. Число рабочих по цеху — сумма численности по всем пяти группам.
2. Середина каждого интервала: 41, 43, 45, 47, 49 (полусумма границ; интервалы равные и закрытые).
3. Фонд зарплаты группы = середина интервала × число рабочих в группе. Суммируем по группам → фонд цеха.

📐 Разбор формулы:

• середина интервала — типичная зарплата в группе (полусумма границ);
• число рабочих в группе — частота (сколько человек в этой зарплатной группе);
• × — умножение.

Как работает: типичную зарплату группы умножают на число людей в ней — получают суммарный фонд этой группы. Сложив фонды всех групп, получают общий фонд зарплаты цеха. Это числитель будущей взвешенной средней.

4. Средняя зарплата на одного рабочего = фонд цеха / число рабочих цеха (отдельно по цеху 1 и цеху 2).

📐 Разбор формулы:

• фонд цеха — суммарная зарплата всех рабочих цеха; число рабочих цеха — общее количество людей; / — деление.

Как работает: общий фонд делят на число людей — получают зарплату в расчёте на одного рабочего. Нельзя усреднять середины интервалов «в лоб»: это дало бы среднее по группам, а не на человека — нужно взвешивать по численности.

5. Разница в процентах: (средняя цеха 2 / средняя цеха 1) × 100 − 100.

📐 Разбор формулы:

• средняя цеха 2 и средняя цеха 1 — средние зарплаты сравниваемых цехов;
• / — деление; × 100 — перевод в проценты; − 100 — переход к приросту.

Как работает: одну среднюю делят на другую (во сколько раз отличаются), переводят в проценты, а вычитание 100% оставляет именно разницу — на сколько процентов зарплата одного цеха выше другого.

Результат: средняя зарплата во втором цехе выше примерно на 1,43%. Зарплаты почти не отличаются; при этом во втором цехе существенно больше работников, и часть из них занята на более высокооплачиваемых местах (смещение в старшие группы).

Оговорки.

• Нельзя усреднять середины интервалов напрямую — получится среднее по группам, а не на одного работника. Нужна именно средняя взвешенная (фонд / численность).
• Обсуждали нечёткость формулировки «средняя заработная плата рабочих»: из неё не сразу очевидно, что речь о средней на одного работника. Преподаватель отметила, что определить нужный показатель — часть аналитической задачи студента.

Задача 2. Средняя зарплата по заводу за два месяца

Условие. По трём цехам за сентябрь и октябрь даны: численность работников, среднемесячная зарплата, фонд зарплаты (часть данных пропущена и восстанавливается). Определить среднюю зарплату в целом по заводу за каждый месяц и её изменение.

Решение по шагам:

1. Достраиваем недостающее: за сентябрь фонд зарплаты = численность × средняя зарплата; за октябрь численность = фонд / средняя зарплата (расчёт «от обратного»).
2. Итоги по заводу: суммируем фонд и численность по трём цехам.
3. Средняя зарплата по заводу за месяц = общий фонд / общая численность (отдельно сентябрь, октябрь).
4. Абсолютное отклонение = средняя октября − средняя сентября.

📐 Разбор формулы:

• средняя октября — отчётное (позднее) значение; средняя сентября — базисное (раннее); − — вычитание.

Как работает: из позднего значения вычитают раннее — получают изменение в рублях. Знак показывает направление: плюс — зарплата выросла, минус — снизилась.

5. Относительное отклонение = (средняя октября / средняя сентября) × 100 − 100.

📐 Разбор формулы:

• средняя октября и средняя сентября — сравниваемые средние; / — деление; × 100 — проценты; − 100 — переход к приросту.

Как работает: деление даёт «во сколько раз», умножение на 100 — проценты, а «−100» превращает размер в прирост — на сколько процентов средняя изменилась за месяц.

Результат: средняя зарплата по предприятию выросла на 100 руб., относительное изменение около 0,3%. Связь X и F: численность (F) × зарплата (X) = фонд.

Оговорки.

• По отдельным цехам абсолютные/относительные изменения не считаем — в условии стоит «в целом по предприятию».
• Так как в условии сказано «изменения» без уточнения, находим и абсолютное, и относительное отклонение.
• Строка про процент бракованных деталей в файле — остаток от других задач, к семинару не относится.

Задача 3. Среднегодовой темп прироста производства (средняя геометрическая)

Условие. Данные о производстве продукции (млн руб.) за 2020–2025 гг. Вычислить среднегодовой темп прироста за период.

Решение по шагам:

1. Цепные коэффициенты роста: каждый год делим на предыдущий (за 2020 год коэффициента нет — не с чем сравнивать). Например, 84/80 даёт коэффициент около 1,05.
2. Базисный коэффициент за весь период = произведение всех цепных коэффициентов = значение 2025 года / значение 2020 года ≈ 1,35.

📐 Разбор формулы:

• базисный коэффициент — рост за весь период (последний год к первому);
• произведение всех цепных коэффициентов — перемноженные годовые коэффициенты;
• значение 2025 и значение 2020 — конечный и начальный уровни ряда; / — деление, · — умножение.

Как работает: при перемножении цепных коэффициентов промежуточные значения сокращаются, и остаётся отношение последнего года к первому. Поэтому произведение годовых коэффициентов равно общему росту за период — это и есть базисный коэффициент.

3. Средний коэффициент роста = средняя геометрическая = корень 5-й степени из произведения коэффициентов (под корнем — итоговый коэффициент 1,35).

📐 Разбор формулы:

• средняя геометрическая — средний множитель роста;
• корень 5-й степени — корень по числу коэффициентов (здесь их 5);
• произведение коэффициентов — все годовые коэффициенты, перемноженные (равно итоговому 1,35).

Как работает: из общего роста за период извлекают корень степени, равной числу годовых коэффициентов, — получают «средний год». Именно корень, а не деление: коэффициенты — множители, и усреднять их нужно геометрически.

4. Среднегодовой темп прироста = средний коэффициент роста − 1 ≈ 6%.

📐 Разбор формулы:

• средний коэффициент роста — средний множитель за год (например, 1,06); − 1 — переход от «во сколько раз» к «на сколько».

Как работает: коэффициент 1,06 — это «в 1,06 раза», вычитание 1 оставляет прирост 0,06 = 6%. Так из множителя получают именно среднегодовой прирост в процентах.

5. Дополнительно: средний объём производства = сумма за 6 лет / 6 ≈ 92,8 (простая арифметическая).

Оговорки.

• Коэффициенты усредняют геометрически, не арифметически. Сравнили оба способа: значения близкие (≈1,06), но не равные; при больших колебаниях расхождение стало бы заметным.
• Цепной и базисный коэффициенты совпадают только для первого шага (2021 к 2020).

Задача 4. Среднедушевой доход в регионе (интервалы неравные, открытые крайние)

Условие. Дан среднедушевой доход (интервальный ряд) и доля населения в процентах в каждой группе. Определить среднедушевой доход в регионе за месяц; построить график, сделать выводы.

Решение по шагам:

1. Середины интервалов: 300, 500, 700, 900, 1100, 1400, 1800, 2200. Интервалы неравные.
2. Крайние открытые интервалы достраиваем по соседям: первому приписываем ширину второго (200) → середина 300; последнему — ширину предыдущего (400) → «свыше 2000» как 2000–2400, середина 2200.
3. Доход группы = середина интервала × доля населения (в %). Сумма долей = 100%.
4. Среднедушевой доход = сумма (середина × доля) / 100 ≈ 688,5.

📐 Разбор формулы:

• середина — середина интервала дохода; доля — доля населения в группе (в %);
• сумма (середина × доля) — взвешенная сумма по всем группам; / 100 — деление на сумму долей (100%); × — умножение.

Как работает: это взвешенная средняя, где весами служат доли населения. Середину каждого интервала умножают на долю людей в нём, складывают и делят на 100% — получают средний доход на человека по региону.

5. График — столбчатая диаграмма распределения численности по доходу (наглядно показывает, в какую группу попадает среднее — третью).

Оговорки.

• Так как интервалы неравные, важно корректно достроить открытые крайние интервалы.
• Промежуточный столбец «доход группы» практической ценности сам по себе не несёт, но нужен для прозрачного расчёта среднего.

Задача 5. Средняя цена гречки по кварталам и за полугодие

Условие. Предприятие продаёт гречку в три региона (Пермский край, Свердловская область, Башкортостан). По 1-му кварталу известны объём продаж и цена; по 2-му — сумма реализации (объём неизвестен). Определить среднюю цену за 1-й и 2-й кварталы и за полугодие, а также её изменения.

Решение по шагам:

1. Объём продаж 2-го квартала (от обратного) = сумма реализации / цена за кг по каждому региону.
2. Итоги: всего продано в 1-м квартале ≈ 90 000 кг, во 2-м ≈ 78 000 кг.
3. Средняя цена за квартал — средняя взвешенная, а не простая: цену по каждому региону взвешиваем объёмом продаж. За 1-й квартал: сумма (цена × объём) по трём регионам / общий объём. За 2-й квартал удобнее: общая сумма реализации / общий объём.
4. Абсолютное отклонение = средняя цена 2-го квартала − средняя цена 1-го.
5. Относительное отклонение = (средняя 2-го / средняя 1-го) × 100 − 100.

Оговорки.

• Ключевая ошибка, которую разобрали: простая арифметическая по ценам регионов (85, 75 → 80) неверна, потому что объёмы продаж различаются. Нужна взвешенная средняя — цены соотносим через объёмы.
• Направление отклонения: из отчётного (2-й квартал) вычитаем базисный (1-й). Если бы во 2-м квартале значение было меньше, абсолютное отклонение вышло бы отрицательным.

Что важно для зачёта

• Уметь определять, какая средняя нужна по природе данных: взвешенная арифметическая для частот, геометрическая для коэффициентов роста.
• Знать алгоритм средней взвешенной через интервальные ряды (X · F, суммирование, деление на сумму F).
• Правильно достраивать открытые и неравные интервалы.
• Считать абсолютное и относительное отклонения, помнить про направление вычитания (отчётный минус базисный) и правило «изменение → считаем оба вида».