Входим через Telegram…
Конспект и транскрипт одним файлом
Загрузите его в ChatGPT, Claude или NotebookLM и спрашивайте по занятию: что говорили про задания и сроки, объясни непонятную тему, составь вопросы для повторения.
Занятие — продолжение темы средних величин. После арифметической, гармонической и геометрической средних разбираются структурные средние: медиана и мода.
Это продолжение блока про средние величины. Раньше разбирали средние арифметическую, гармоническую и геометрическую — это степенные средние, которые считаются по всем значениям ряда. Теперь речь о структурных средних: они описывают не «общий уровень» через вычисления по всем данным, а характерные точки внутри распределения. Таких структурных средних две: медиана и мода.
Чтобы их считать, нужно вспомнить, как устроены ряды распределения.
Ряды бывают:
💡 Понятнее: дискретный ряд — это перечень отдельных значений с их частотами (оценка 8 — 5 человек, оценка 9 — 7 человек). Интервальный — когда значения сгруппированы в «корзины»: зарплата 20–30 тыс. — 10 человек, 30–40 тыс. — 50 человек и т. д.
Медиана — это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. Она делит ряд пополам на две равные части. Главное свойство: 50% значений меньше медианы, 50% больше. Именно это свойство используют для выводов: «половина работников получает меньше такой-то суммы, половина — больше».
⚠️ Уточнение: ключевое слово — ранжированный. Самая частая ошибка при поиске медианы в дискретном ряду — забыть сначала отсортировать значения по возрастанию. Медиана берётся из упорядоченного ряда, а не из того, в каком порядке данные были даны.
Сначала ряд ранжируют по возрастанию. Дальше всё зависит от того, чётное или нечётное число значений:
📐 Разбор формулы:
- N — число значений в ряду;
- (N + 1) / 2 — порядковый номер серединного элемента; + — сложение, / 2 — деление пополам.
Как работает: формула даёт не саму медиану, а её место (позицию) в ранжированном ряду. Например, при N = 9 это (9+1)/2 = 5 — пятый по счёту элемент. Значение, стоящее на этой позиции, и есть медиана. Поэтому ряд обязательно сначала сортируют. Это даёт позицию серединного элемента; значение на этой позиции и есть медиана.
🗣 Преподаватель сказал: при нечётном числе значений формула (N+1)/2 даёт номер позиции медианы, а не саму медиану. Сначала находим место в ряду, потом смотрим, какое значение на этом месте стоит.
Когда данные заданы интервалами, конкретного «серединного значения» нет — медиану считают по формуле. Порядок действий:
Медиана = X₀ + h · ( ( Σf / 2 − S_{m−1} ) / f_m )
📐 Разбор формулы:
- X₀ — нижняя граница медианного интервала (откуда «стартуем»);
- h — ширина (высота) медианного интервала;
- Σf — сумма всех частот (объём совокупности), Σf / 2 — её половина;
- S_{m−1} — накопленная частота интервала перед медианным;
- f_m — частота самого медианного интервала;
- · — умножение, / — деление, − — вычитание.
Как работает: медиана делит ряд пополам, но внутри интервала точного значения нет, поэтому её «достраивают». Берут нижнюю границу медианного интервала и прибавляют часть его ширины. Дробь показывает, как далеко от начала интервала лежит «половина данных»: в числителе — сколько частот не хватает до половины, в знаменателе — частота интервала, которая делает дробь долей. Результат всегда лежит внутри медианного интервала.
где:
Пример (зарплата сотрудников, объём 500 человек). Накопленные частоты: 10 → 60 → 160 → 275 → … → 500. Половина объёма = 500 / 2 = 250. По накопленным частотам 250 не попадает в третий интервал (там накоплено 160), а попадает в четвёртый — он и есть медианный. Для него: X₀ = 350, h = 50, накопленная частота предыдущего интервала = 160, частота медианного интервала = 115. Подставляем:
350 + 50 · ( (500/2 − 160) / 115 ) = 350 + 50 · (90 / 115) ≈ 389.
Вывод: 50% работников получают меньше 389 тыс. руб., 50% — больше.
➕ Преподаватель не упомянул явно: в числителе Σf/2 и S_{m−1} измеряются в единицах частоты (человеках), и их разность тоже. Деление на f_m делает дробь безразмерной долей, а умножение на высоту h «достраивает» медиану внутри интервала от его нижней границы. Поэтому результат всегда лежит внутри медианного интервала.
⚠️ Уточнение про пограничные значения. Если половина объёма точно совпадает с границей двух интервалов, по правилу группировки это значение относят к интервалу, для которого оно является нижней границей. Пример: 100 образцов, половина = 50; накопленная частота во втором интервале ровно 50, но 50 — это и нижняя граница третьего интервала, поэтому медианным считается третий интервал, а не второй.
Мода — это значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности (с наибольшей частотой).
Особенности:
Определяется визуально — просто находят значение с наибольшей частотой.
Точного значения опять нет — указывают модальный интервал и считают моду по формуле. Порядок:
Мода = X₀ + h · ( (f_m − f_{m−1}) / ( (f_m − f_{m−1}) + (f_m − f_{m+1}) ) )
📐 Разбор формулы:
- X₀ — нижняя граница модального интервала;
- h — ширина модального интервала;
- f_m — частота модального интервала (наибольшая);
- f_{m−1} — частота предыдущего (предмодального) интервала;
- f_{m+1} — частота следующего (послемодального) интервала;
- · — умножение, / — деление, − — вычитание, + — сложение.
Как работает: мода — самое частое значение, но внутри интервала его точно не видно, поэтому оценивают по формуле. От нижней границы модального интервала отступают часть его ширины. Числитель показывает, насколько модальный интервал «обгоняет» предыдущий, знаменатель — насколько он обгоняет и предыдущий, и следующий. Эта дробь сдвигает моду ближе к тому соседу, который по частоте ближе.
где:
💡 Понятнее: формула моды выглядит громоздко, но устроена просто. Числитель — насколько модальный интервал «обгоняет» предыдущий. Знаменатель — сумма того, насколько он обгоняет и предыдущий, и следующий. Эта дробь показывает, ближе мода к началу или к концу интервала, и сдвигает её от нижней границы на нужную долю высоты.
Пример 1 (прибыль 20 банков). Частоты по пяти группам: 2, 4, 6, 5, 3. Наибольшая частота 6 — у третьей группы, она модальная. Нижняя граница = 5,5; высота = 0,9 (4,6 − 3,7); f_m = 6, f_{m−1} = 4, f_{m+1} = 5.
5,5 + 0,9 · ( (6−4) / ((6−4) + (6−5)) ) = 5,5 + 0,9 · (2/3) ≈ 6,1 млн руб.
Пример 2 (влажность товара, 100 образцов). Модальный интервал 14–16 с частотой 30. X₀ = 14, h = 2, f_{m−1} = 20, f_{m+1} = 25.
14 + 2 · ( (30−20) / ((30−20) + (30−25)) ) = 14 + 2 · (10/15) = 14 + 2 · 0,667 ≈ 15,3%.
Вывод: наибольшее число образцов имеет влажность около 15,3%.
⚠️ Уточнение к формулировке. В речи это правило прозвучало нечётко («мода минус среднее равна трёхкратному значению медианы минус среднее»). Корректная формула эмпирического правила Пирсона: (Среднее − Мода) ≈ 3 · (Среднее − Медиана). Проверим на влажности: средняя = 16,3; медиана = 16; мода = 15,3. Среднее − медиана = 0,3; умножаем на 3 → 0,9. Среднее − мода = 16,3 − 15,3 = 1,0. Значения 0,9 и 1,0 близки — соотношение выполняется приблизительно.
⚠️ Уточнение: общепринятые названия асимметрии связывают со стороной «длинного хвоста» распределения, и в учебниках встречаются обе традиции обозначения. Для практики надёжнее запоминать не название, а порядок величин: при асимметрии мода, медиана и средняя расходятся, и чем сильнее разброс данных (выбросы), тем больше расхождение.
💡 Понятнее: классическая аналогия — «средняя температура по больнице» или средняя зарплата в фирме, где у руководства 100 тыс., а у техперсонала 20 тыс. Средняя получится красивой, но не отражающей реальность большинства. Медиана в такой ситуации честнее показывает середину.
Структурные средние величины — мода и медиана. Это продолжение блока про средние: на прошлых занятиях разбирали степенные средние (арифметическую, гармоническую, геометрическую), теперь — структурные.
Перед расчётом моды и медианы повторили базу.
Медиана — значение признака на середине ранжированного ряда; делит ряд пополам. Свойство: 50% значений меньше медианы, 50% больше. Используется для выводов вида «половина получает меньше X, половина больше».
Ключевое предупреждение преподавателя: ряд обязательно ранжируют (сортируют по возрастанию). Забыть про ранжирование — самая распространённая ошибка.
📐 Разбор формулы:
- N — число значений в ряду; (N + 1) / 2 — порядковый номер серединного элемента.
Как работает: формула указывает позицию медианы в отсортированном ряду, а не само значение. На этой позиции и стоит медиана, поэтому ряд предварительно ранжируют.
Был вопрос студента, почему в задаче с 4 центрами берут именно 130 и 142. Преподаватель пояснил: ранжированный ряд из четырёх значений — 125, 130, 142, 164, центральные именно второй и третий элементы (130 и 142). В презентации был вариант с 4 значениями, расширенный с 6 — добавлен отдельно.
Мода — значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности.
Определяется визуально — берут значение с наибольшей частотой.
Формула:
Me = X₀ + h · ( (Σf/2 − S_{m−1}) / f_m )
📐 Разбор формулы:
- Me — медиана; X₀ — нижняя граница медианного интервала; h — его ширина;
- Σf — сумма частот, Σf/2 — её половина; S_{m−1} — накопленная частота предыдущего интервала; f_m — частота медианного интервала;
- · — умножение, / — деление, − — вычитание.
Как работает: от нижней границы медианного интервала прибавляют часть его ширины. Дробь показывает, где внутри интервала проходит «половина данных»: сколько частот не добрали до половины, отнесённое к частоте интервала. Результат всегда внутри медианного интервала.
Порядок: 1) посчитать накопленные частоты; 2) разделить общую сумму частот пополам и по накопленным частотам найти медианный интервал; 3) подставить значения.
Накопленные частоты: 10 → 60 (10+50) → 160 → 275 → … → 500. Половина = 250. По накоплению 250 попадает в четвёртый интервал (третий заканчивается на 160) → он медианный.
X₀ = 350; h = 50; S_{m−1} = 160; f_m = 115.
Me = 350 + 50 · ((500/2 − 160)/115) = 350 + 50 · (90/115) ≈ 389.
Вывод: 50% работников получают меньше 389 тыс. руб., 50% — больше.
Формула:
Mo = X₀ + h · ( (f_m − f_{m−1}) / ((f_m − f_{m−1}) + (f_m − f_{m+1})) )
📐 Разбор формулы:
- Mo — мода; X₀ — нижняя граница модального интервала; h — его ширина;
- f_m — частота модального интервала; f_{m−1} — предмодальная частота; f_{m+1} — послемодальная частота;
- · — умножение, / — деление, − — вычитание, + — сложение.
Как работает: от нижней границы модального интервала отступают часть ширины. Числитель — насколько интервал «обгоняет» предыдущий, знаменатель — сумму превышений над предыдущим и следующим. Дробь сдвигает моду к тому соседу, который по частоте ближе.
Порядок: найти модальный интервал (с наибольшей частотой), подставить значения.
Частоты по группам: 2, 4, 6, 5, 3. Накопленные: 2, 6, 12, …, 20. Наибольшая частота 6 — третья группа → модальный интервал. Здесь же оказался и медианный (20/2 = 10, по накоплению попадает в третий интервал).
X₀ = 5,5; h = 0,9 (4,6 − 3,7); f_m = 6; f_{m−1} = 4; f_{m+1} = 5.
Mo = 5,5 + 0,9 · ((6−4)/((6−4)+(6−5))) = 5,5 + 0,9·(2/3) ≈ 6,1 млн руб.
Особенность задачи: ряд оказался симметричным — мода = медиана = средняя ≈ 6,1 млн руб. (средняя проверена: 121,7/20 ≈ 6,1). Совпадение моды и медианы — относительно редкий случай; совпадение модального и медианного интервалов — наоборот, частое.
Особенность — у крайних интервалов не указаны нижняя/верхняя границы. Модальный интервал — второй (14–16) с наибольшей частотой 30.
X₀ = 14; h = 2; f_m = 30; f_{m−1} = 20; f_{m+1} = 25.
Mo = 14 + 2 · ((30−20)/((30−20)+(30−25))) = 14 + 2·(10/15) ≈ 15,3%.
Медиана для этого же ряда — важный нюанс с пограничным значением. 100/2 = 50. Накопленная частота во втором интервале ровно 50, и кажется, что медианный интервал — второй. Но 50 одновременно является нижней границей третьего интервала, а по правилу группировки пограничное значение относят к интервалу, где оно — нижняя граница. Поэтому медианный интервал — третий (16–18).
Me = 16 + 2 · ((100/2 − 50)/25) = 16%.
Вывод: 50% продукции имеет влажность до 16%, 50% — свыше 16%.
На семинарском занятии в тот же день предполагается практический расчёт моды и медианы, в том числе задача с пограничным значением внутри ряда (когда граница попадает между значениями вроде 10,8 и 11) — там же отрабатывается отнесение пограничных значений к интервалам.
Загружаю транскрипт…