Лекция 4 — Абсолютные, относительные и средние величины

Зачем нужны разные виды величин

Любое явление в статистике можно описать на трёх уровнях точности. Сначала мы считаем абсолютную величину — простой объём или размер чего-либо (сколько тонн добыто, сколько рублей выручки, сколько человек работает). Но абсолютное число само по себе мало о чём говорит: оно не показывает ни структуру явления, ни соотношение его частей. Поэтому дальше переходят к относительным величинам — сравнениям, где одно число делится на другое.

Абсолютные величины

Абсолютная величина — это объём или размер изучаемого явления, выраженный в конкретных единицах измерения, привязанный к месту и промежутку времени.

• Индивидуальная абсолютная величина характеризует одну единицу совокупности (например, выработка одного работника).
• Суммарная характеризует группу единиц, образующих всю совокупность.

По единицам измерения абсолютные показатели делят на:

• натуральные — килограммы, метры, тонны, километры, джоули и т. п.;
• стоимостные — денежная оценка (рубли); сюда относятся все экономические показатели;
• трудовые — трудоёмкость, трудозатраты, нормативы, численность задействованных кадров.

⚠️ Уточнение: деление условно. Один и тот же показатель может попадать сразу в несколько групп. Например, «объём продукции в рублях» — это натуральный показатель, выраженный в денежном эквиваленте, и одновременно стоимостной. А «количество рабочих» — это натуральный показатель, хотя речь идёт о трудовой сфере. Не пытайтесь жёстко загнать каждый показатель в одну ячейку.

Условно-натуральные единицы

Проблема: если продукция имеет несколько разновидностей, разные виды нельзя просто сложить (нельзя сложить тонны нефти и тонны угля как «одно топливо», потому что они дают разную энергию). Тогда всё приводят к единому эталонному качеству.

Для этого вводят коэффициент пересчёта — фактический показатель качества делят на эталон. Примеры эталонов, которые приняты как константы:

• условное топливо с теплотой сгорания 29,3 МДж/кг;
• условное мыло с содержанием жиров 40 %;
• условная консервная банка объёмом 353,4 куб. см.

Пример: перевод топлива в условное

Задача: в 2025 году добыто 348 млн т нефти и 950 млн т угля. Найти общий объём в условном топливе.

1. Коэффициент пересчёта для нефти: теплоту сгорания нефти делим на эталон 29,3. Получается ≈ 1,5.
2. Нефть в условном топливе: 1,5 × 348 ≈ 534,5 млн т.
3. Коэффициент пересчёта для угля: теплоту сгорания угля делим на 29,3. Получается ≈ 0,9 (меньше единицы).
4. Уголь в условном топливе: 0,9 × 950 ≈ 868,9 млн т.
5. Суммируем нефть и уголь в условном топливе — получаем общий объём добытого топлива.

⚠️ Уточнение: в устном расчёте для коэффициента нефти прозвучало деление «45 на 29,3», а для угля «26,8 на 29,3». Логика верна — это теплота сгорания каждого вида, делённая на эталон, — но конкретные числа теплоты сгорания берутся из справочника, не запоминайте их наизусть. Главное: коэффициент = (теплота сгорания вида) ÷ (теплота сгорания эталона), а итог = коэффициент × физический объём.

Относительные величины: общая идея

Относительная величина — обобщающий показатель, числовая мера соотношения двух абсолютных величин. Всегда «что-то делится на что-то». Результат выражают:

• в коэффициентах — база сравнения принимается за 1 (просто одно делим на другое);
• в процентах — база за 100 (делим и ×100);
• в промилле (‰) — база за 1000 (делим и ×1000).

💡 Понятнее: выбор единицы — это просто выбор масштаба. Хотите долю «на сотню» — умножаете на 100 и называете процентами; хотите «на тысячу» — умножаете на 1000 и называете промилле. Классический случай промилле — коэффициент рождаемости: число родившихся за год на 1000 человек населения.

Семейство относительных величин

ОВД — относительная величина динамики

Изменение явления во времени: показатель отчётного периода делят на показатель базисного. Показывает, во сколько раз вырос уровень по сравнению с прошлым периодом.

💡 Понятнее: разделив, получаем, например, 1,23 (рост в 1,23 раза). Если интересует именно прирост в процентах, дополнительно вычитают 100 %: 123 % − 100 % = +23 %. Эта «−100» — частая деталь во всех задачах на отклонение.

Переменная и постоянная база сравнения

При анализе ряда лет базу можно выбрать двумя способами:

• переменная база (цепной способ) — каждый год сравнивают с предыдущим;
• постоянная база (базисный способ) — каждый год сравнивают с одним выбранным базисным годом.

Для первого года после базисного оба способа дают одинаковый результат, дальше они расходятся.

ОВП — относительная величина выполнения плана

Степень выполнения плана: фактический (отчётный) показатель делят на плановый.

• Пример: произведено 1150 авто при плане 900 → 1150 / 900 = 1,28 → план перевыполнен на 28 %.
• Пример: получено 94 млн ₽ субсидии при плане 125 → 94 / 125 = 0,75 → план выполнен на 75 % (недополучено 25 %).

ОВПЗ — относительная величина планового задания

Насколько план следующего периода отличается от факта базисного: плановый показатель отчётного периода делят на фактический показатель базисного периода.

• Пример: план на 2025 — 1100 пылесосов, факт 2024 — 1250 → 1100 / 1250 = 0,88 → запланировано снижение на 12 % (план составляет 88 % от факта прошлого года).

Связь трёх показателей

➕ Важно для зачёта: ОВД, ОВП и ОВПЗ связаны формулой ОВД = ОВП × ОВПЗ. Зная любые два, можно найти третий. Это удобно представить как «цепочку»: факт/план × план/база = факт/база. В разобранном комплексном примере (выручка 8,5 → план 9,5 → факт 9,3 млн ₽) последовательно нашли ОВПЗ = 111,8 %, ОВП = 97,9 %, ОВД = 109,4 %.

ОВС — относительная величина структуры

Удельный вес части в целом: часть совокупности делят на всю совокупность и ×100 %.

• Пример: из 120 работников 90 рабочих (75 %), 20 специалистов, 10 АУП (≈ 8 %).
• Жизненные аналоги: структура затрат (доля сырья в себестоимости), демографический состав (доля мужчин/женщин).

ОВК — относительная величина координации

Соотношение между двумя частями одного целого (одну часть делят на другую, не на целое).

• Пример: рабочие к служащим. Но «служащие» можно посчитать по-разному: либо это специалисты + АУП (20 + 10 = 30, тогда 90/30 = 3), либо специалисты считаются отдельными экспертами и в служащих учитывают только АУП (90/10). Ответ зависит от специфики предприятия.

⚠️ Уточнение: у ОВК нет единственно «правильного» деления — сначала нужно договориться, какие категории относим к каждой части, и только потом делить. Это содержательный, а не чисто арифметический выбор.

ОВИ — относительная величина интенсивности

Степень распространения явления в определённой среде: показатель явления делят на показатель среды (величины разноимённые, но связанные).

• Пример: коэффициент рождаемости = число родившихся ÷ средняя численность населения × 1000 (в промилле). Для Санкт-Петербурга вышло ≈ 12,9 ‰ → на каждую 1000 жителей родилось ~12 детей.

📐 Разбор формулы:

• коэффициент рождаемости — сколько рождений приходится на 1000 человек населения;
• число родившихся — сколько детей родилось за год;
• средняя численность населения — среднее число жителей за тот же год;
• × 1000 — перевод доли в промилле (на 1000 человек);
• ÷ — деление, × — умножение.

Как работает: это относительная величина интенсивности — она показывает, насколько распространено явление (рождения) в своей среде (население). Делим одно на другое, чтобы соотнести событие со средой, а множитель 1000 переводит мелкую долю в удобное «на 1000 жителей», как принято для рождаемости.

⚠️ Уточнение: при расчёте важно следить за единицами. В примере и родившиеся, и население были даны в тысячах, поэтому домножение на 1000 — это не «арифметика для красоты», а перевод в промилле (показатель на 1000 человек), как и положено для рождаемости.

ОВСр — относительная величина сравнения

Сравнение одноимённых абсолютных показателей разных объектов или территорий: показатель объекта A делят на показатель объекта Б.

• Пример: во сколько раз население Москвы превышает население Перми (или другого города).

Как это усвоить

Основная мысль преподавателя: все формулы — это школьная математика (деление и проценты). Не нужно зубрить, что на что делится; достаточно понимать смысл: текущее к базисному — это динамика, факт к плану — выполнение плана, план к базе — плановое задание, часть к целому — структура, часть к части — координация, явление к среде — интенсивность, объект к объекту — сравнение.

Тема занятия

Абсолютные, относительные и средние величины. Основной фокус — абсолютные показатели, перевод в условно-натуральные единицы и подробный разбор всех видов относительных величин с решением задач (часть задач решалась параллельно в Excel).

1. Абсолютные величины

Определение: объём или размер изучаемого события/явления/процесса в соответствующих единицах измерения, в конкретных условиях места и времени.

• Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности.
• Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц, образующую всю совокупность.

Виды по единицам измерения:

• натуральные — кг, м, тонны, км, джоули и др.;
• условно-натуральные — применяются при подсчёте итогов по продукции одинакового потребительского качества, но широкого ассортимента;
• стоимостные — денежная оценка явлений и процессов (рубли); все экономические показатели;
• трудовые — трудоёмкость, трудозатраты, нормативы, численность кадров.

Оговорка: градация может быть «на стыке» — например, объём в рублях это натуральный показатель в денежном эквиваленте, который относят и к стоимостным; количество рабочих — натуральный показатель, хотя относится к трудовой сфере.

Важно: абсолютные показатели не дают полного представления о явлении — не показывают структуру и соотношение частей.

2. Условно-натуральные единицы

Нужны, когда продукт имеет несколько разновидностей и общий объём можно определить только через единое качество/свойство. Используется коэффициент пересчёта: фактическое потребляемое качество делят на эталон.

Эталоны-константы:

• условное топливо — теплота сгорания 29,3 МДж/кг;
• условное мыло — содержание жиров 40 %;
• условная консервная банка — объём 353,4 куб. см.

Задача 1. Перевод топлива в условное

Дано: 2025 год, РФ, добыто 348 млн т нефти и 950 млн т угля. Найти объём добытого топлива в условном.

Решение (через Excel-форму, файл прикреплён к лекции в Smart LMS):

1. Коэффициент пересчёта нефти: (теплота сгорания нефти) ÷ 29,3 ≈ 1,5.
2. Нефть в условном топливе: 1,5 × 348 ≈ 534,5 млн т.
3. Коэффициент пересчёта угля: (теплота сгорания угля) ÷ 29,3 ≈ 0,9.
4. Уголь в условном топливе: 0,9 × 950 ≈ 868,9 млн т.
5. Суммарный объём = нефть + уголь в условном топливе.

3. Относительные величины — общее

Определение: обобщающий показатель, числовая мера соотношения двух сопоставляемых абсолютных величин (одно делится на другое). Чаще всего — текущее значение к базисному.

Единицы измерения:

• коэффициент — база сравнения = 1;
• процент — база = 100 (текущее ÷ базисное × 100);

📐 Разбор формулы:

• текущее — сравниваемое значение; базисное — значение, принятое за точку отсчёта;
• ÷ — деление; × 100 — перевод результата в проценты.

Как работает: одно значение делят на другое, получая «во сколько раз», а умножение на 100 переводит это в проценты. Выбор множителя (100 для процентов, 1000 для промилле) — это просто выбор масштаба для удобного чтения доли.

• промилле (‰) — база = 1000 (текущее ÷ базисное × 1000), например показатель рождаемости.

Напоминание про абсолютное отклонение: разница между показателями (прибыль одного года минус прибыль другого) — это абсолютное значение («на сколько больше/меньше»). Относительное — это соотношение («во сколько раз», доля, %).

4. ОВД — относительная величина динамики

Характеризует изменение явления во времени: в числителе — абсолютное значение за отчётный год, в знаменателе — базисный период.

Задача 2. Анализ финансовых результатов предприятия

Даны показатели за 2024 и 2025 годы: выручка, себестоимость, коммерческие и управленческие расходы, прибыль, налог на прибыль, чистая прибыль. Найти абсолютные и относительные отклонения.

• Абсолютное отклонение = показатель 2025 − показатель 2024. По выручке получился минус (выручка уменьшилась). Себестоимость и коммерческие расходы выросли (плюс). Прибыль, налог и чистая прибыль — в минусе.

📐 Разбор формулы:

• показатель 2025 — значение в отчётном (более позднем) периоде;
• показатель 2024 — значение в базисном (более раннем) периоде;
• − — вычитание.

Как работает: показывает, на сколько (в тех же единицах — рублях, тоннах) изменился показатель. Из позднего вычитают ранний, поэтому знак результата сразу говорит о направлении: плюс — рост, минус — снижение.

• Относительное отклонение = (показатель 2025 ÷ показатель 2024 × 100) − 100. Например, выручка 430 ÷ 560 × 100 ≈ 77 %, минус 100 = −23 % (понижение на 23 %). Прибыль до налогообложения: 6500 ÷ 2450... → ≈ −73 % (уменьшение на ~1800 ₽ / на 73 %).

📐 Разбор формулы:

• показатель 2025 — отчётное значение; показатель 2024 — базисное значение;
• ÷ — деление; × 100 — перевод в проценты; − 100 — переход от «размера» к «приросту».

Как работает: деление даёт «во сколько раз» (например, 77% от прошлого года), а вычитание 100% превращает это в прирост — на сколько процентов показатель изменился (−23%). Именно «−100» отделяет рост/снижение от полного размера показателя.

Ключ: «−100» даёт именно отклонение от 100 %.

Переменная и постоянная база (пример с объёмом продаж 2022–2025)

• Переменная база (цепная): каждый год сравнивают с предыдущим (2023 к 2022, 2024 к 2023, 2025 к 2024).
• Постоянная база (базисная): каждый год сравнивают с базисным 2022 (2023 к 2022, 2024 к 2022, 2025 к 2022).
• Для 2023 года оба способа совпадают (≈ 75 %); далее результаты расходятся (по постоянной базе делим всегда на 3 386 тыс. т).

5. ОВП — относительная величина выполнения плана

Степень выполнения плана = показатели отчётного периода ÷ плановые показатели.

📐 Разбор формулы:

• показатели отчётного периода — то, что фактически достигнуто;
• плановые показатели — то, что планировалось достичь;
• ÷ — деление.

Как работает: факт делят на план — получают, какую долю плана выполнили. Больше 100% — план перевыполнен, меньше — недовыполнен. Так оценивают, насколько результат соответствует намеченному.

• Задача: произведено 1150 авто при плане 900 → 1150 / 900 = 1,28 → план перевыполнен на 28 %.
• Задача: субсидия фактически 94 млн ₽ при плане 125 → 94 / 125 = 0,75 → выполнено на 75 % (на 25 % меньше плана).

6. ОВПЗ — относительная величина планового задания

= плановый показатель отчётного периода ÷ фактический показатель базисного периода. Часто используется на крупных предприятиях.

📐 Разбор формулы:

• плановый показатель отчётного периода — план на текущий год;
• фактический показатель базисного периода — фактический результат прошлого года;
• ÷ — деление.

Как работает: план на новый год делят на факт прошлого — видно, насколько «амбициозен» план относительно уже достигнутого. Больше 100% — запланирован рост, меньше — снижение.

• Задача: 2024 произведено 1250 пылесосов, на 2025 запланировано 1100 → 1100 / 1250 = 0,88 → запланировано снижение на 12 % (88 % от факта 2024).

7. Комплексная задача (ОВПЗ, ОВП, ОВД вместе)

Дано: выручка 2024 — 8,5 млн ₽; план 2025 — 9,5 млн ₽; факт 2025 — 9,3 млн ₽.

• ОВПЗ = 9,5 / 8,5 × 100 = 111,8 % → запланирован рост выручки на 11,8 %.
• ОВП = 9,3 / 9,5 × 100 = 97,9 % → план недовыполнен на ~2 %.
• ОВД = 9,3 / 8,5 × 100 = 109,4 % → выручка выросла на 9,4 % к 2024 году.

Взаимосвязь показателей

ОВД = ОВП × ОВПЗ. Зная два — находим третий. Все три можно объединить в единую форму соотношений (текущее/базисное, плановое/базисное, текущее/плановое).

📐 Разбор формулы:

• ОВД — относительная величина динамики (факт текущего к факту базисного);
• ОВП — относительная величина выполнения плана (факт к плану);
• ОВПЗ — относительная величина планового задания (план к факту прошлого года);
• × — умножение.

Как работает: три показателя связаны как цепочка дробей: (факт/план) × (план/база) = факт/база. Плановый показатель в произведении сокращается, и остаётся именно динамика. Поэтому, зная любые два, легко найти третий — это удобная самопроверка.

• Задача: план недовыполнен на 0,5 % (коэф. 0,995), объём производства вырос на 0,3 % (ОВД = 1,003). Найти запланированный рост: ОВПЗ = ОВД ÷ ОВП = 1,003 / 0,995 ≈ 1,008 → запланирован рост на 0,8 %.
• Задача: план перевыполнен на 7 % (1,07), запланирован рост на 20 % (1,20). Фактический прирост: ОВД = 1,07 × 1,20 = 1,284 → прирост 28,4 %.

Задача по подразделениям

Даны фактические объёмы реализации 2024 (подразделение 1 и 2) и плановые задания. Запланированный объём = фактический объём × плановое задание ÷ 100 (по каждому подразделению), затем суммируют. ОВПЗ по предприятию = сумма планового объёма ÷ сумма фактического объёма 2024 → ≈ 101,8 % (рост на 1,8 %).

8. ОВС — относительная величина структуры

Удельный вес части в целом = часть совокупности ÷ вся совокупность × 100 %.

📐 Разбор формулы:

• часть совокупности — выделяемая группа (например, рабочие);
• вся совокупность — общее число единиц;
• ÷ — деление; × 100 % — перевод доли в проценты.

Как работает: часть делят на целое — получают долю этой части. Это относительная величина структуры: сумма долей всех частей всегда даёт 100%, что и показывает, из чего складывается совокупность.

• Задача: из 120 работников 90 рабочих, 20 специалистов, 10 АУП. Рабочие = 75 %, АУП = 10/120 ≈ 8 %.
• Примеры из обсуждения: структура затрат (доля сырья 600 тыс. из 1 млн = 60 %), демографический состав населения, личный бюджет.

9. ОВК — относительная величина координации

Соотношение между двумя частями одного целого (часть к части).

• Задача: соотношение рабочих и служащих. Если специалисты + АУП = служащие: 90 / 30 = 3. Если специалисты считать экспертами (не служащими): 90 / 10. Выбор зависит от специфики предприятия.

10. ОВИ — относительная величина интенсивности

Степень распространения явления в определённой среде = показатель явления ÷ показатель среды.

📐 Разбор формулы:

• показатель явления — то, что мы измеряем (например, число родившихся);
• показатель среды — фон, в котором явление происходит (например, численность населения);
• ÷ — деление.

Как работает: это относительная величина интенсивности. В отличие от структуры, здесь делят разноимённые, но связанные величины — чтобы понять, насколько густо явление «представлено» в своей среде (рождения на население, врачи на жителей и т. п.).

• Задача (рождаемость): СПб — 57 тыс. родившихся при средней численности ~5 млн; Ленобласть — соответствующие данные. Коэффициент рождаемости = родившиеся ÷ средняя численность × 1000 (в промилле, т. к. рождаемость считают на 1000 человек). СПб ≈ 12,9 ‰ (12 детей на 1000 жителей), Ленобласть ≈ 9 ‰.

📐 Разбор формулы:

• родившиеся — число рождений за год;
• средняя численность — среднее число жителей за год;
• × 1000 — перевод в промилле (на 1000 человек);
• ÷ — деление, × — умножение.

Как работает: частный случай относительной величины интенсивности. Рождения соотносят с населением, а множитель 1000 делает мелкую долю удобной для чтения — «столько-то детей на 1000 жителей».

• Внимание к единицам: и родившиеся, и население даны в тысячах, поэтому ×1000 переводит в промилле.

11. ОВСр — относительная величина сравнения

Сравнение одноимённых абсолютных показателей разных объектов/территорий = показатель объекта A ÷ показатель объекта Б.

📐 Разбор формулы:

• показатель объекта A и показатель объекта Б — одноимённые величины двух разных объектов (например, население двух городов);
• ÷ — деление.

Как работает: это относительная величина сравнения — одну величину делят на другую, чтобы узнать, во сколько раз (или на сколько процентов) один объект превосходит другой. В сумму 100% такие отношения не сводятся — это просто попарные сравнения.

• Пример: во сколько раз население Москвы превышает население другого города (Перми и т. п.).

Организационные моменты и домашнее

• Excel-файлы с разобранными задачами прикреплены к лекции в Smart LMS.
• Дополнительные задачи предложены для самостоятельной отработки (можно сверить ответы); прозвучавшие ответы: фактическая себестоимость 99,6 % от плановой; по другой задаче — 88 % / снижение затрат на 12 %.
• Самостоятельная работа №1 — выполнить до вторника (до следующих занятий). Следить за обновлением графика работ.
• К подобным задачам вернутся и закрепят методологию расчётов на семинаре.
• Для экзаменационной работы нужно будет выбрать показатель, проанализировать его в динамике (как правило за 5 лет, иногда больше — например, чтобы захватить доковидный период), сравнить по факторным признакам; вся методология будет разобрана на семинарах.