Лекция 12 — Числовые характеристики вариационного ряда и введение в выборочный метод

О чём вообще речь

Мы перешли от теории вероятностей к математической статистике. Разница принципиальная. В теории вероятностей мы вычисляли вероятности значений случайной величины заранее, теоретически. В статистике мы наблюдаем значения признака и просто подсчитываем их частоты — сколько раз какое значение встретилось.

🗣 Преподаватель сказал: «Здесь мы как будто бы наблюдаем случайные величины, но мы их именно наблюдаем, и мы подсчитываем их частотность».

На прошлых занятиях были введены вариационные ряды. Напомним два их вида:

• Дискретный ряд — отдельные значения признака стоят более-менее равномерно, и каждое можно прямо выделить (например, тарифные разряды 1, 2, 3, 4, 5, 6).
• Интервальный ряд — значений очень много, исследовать каждое тяжело, поэтому их разбивают на интервалы и считают, сколько наблюдений попало в каждый интервал.

Сегодняшняя задача — научиться считать числовые характеристики такого ряда. Их делят на три группы: средние величины, показатели вариации и моменты.

Группа 1. Средние величины (что мы ожидаем)

Эти характеристики показывают, какое значение признака для нас типично, ожидаемо.

Средняя арифметическая

Обозначается буквой с чертой сверху. Считается так: единица, делённая на N (число наблюдений), умноженная на сумму произведений каждого значения признака на его частоту. Если уже посчитаны относительные частоты (частость = частота, делённая на общее число наблюдений), то можно сразу складывать произведения значений на относительные частоты — и делить уже ничего не надо.

📐 Разбор формулы:

• x̄ (буква с чертой) — средняя арифметическая признака;
• N — общее число наблюдений;
• xᵢ — значение признака (для интервала — середина интервала);
• nᵢ — частота значения; ωᵢ = nᵢ/N — относительная частота (частость);
• формула: x̄ = (1/N)·Σ xᵢ·nᵢ = Σ xᵢ·ωᵢ.

Как работает: это «взвешенное» среднее: каждое значение учитывается тем сильнее, чем чаще оно встречается. Это статистический аналог математического ожидания, где роль вероятностей играют частости.

💡 Понятнее: это просто «обычное среднее», но когда одни значения встречаются чаще других, каждое берётся со своим весом — со своей частотой.

Для дискретного ряда считаем прямо по таблице. Для интервального ряда вместо самого значения берём середину интервала (например, для интервала от 96 до 100 серединой будет 97).

🗣 Преподаватель сказал: «Это аналог математического ожидания… то значение, которое наиболее ожидаемое». При этом «наиболее ожидаемое» и «наиболее вероятное» — не одно и то же; наиболее вероятное — это уже про моду.

Медиана

Медиана — это середина ранжированного ряда (то есть ряда, выстроенного по возрастанию или убыванию). Если у нас просто набор данных — выстроили и взяли середину, проблем нет. Но мы работаем с уже обработанными данными (частоты сосчитаны и сгруппированы), поэтому нужны формулы.

Для дискретного ряда:

• если число наблюдений N нечётное — медиана это значение варианты с номером (N+1)/2;
• если N чётное — берут среднее арифметическое двух срединных вариант (с номерами N/2 и N/2+1).

Но в таблице вариационного ряда отдельных вариант с такими номерами уже не видно — данные сгруппированы. Поэтому практическое правило: медиана — это значение признака в той группе, где накопленная частота впервые превышает половину числа наблюдений.

💡 Понятнее: накопленная частота — это «сколько наблюдений набралось к этому значению включительно». Идём по ряду, складываем частоты нарастающим итогом; как только перевалили за половину — это и есть группа медианы.

Для интервального ряда сначала ищут медианный интервал — тот, где накопленная частота впервые больше половины наблюдений. Затем медиану внутри него находят по формуле: к нижней границе медианного интервала прибавляют дробь, в числителе которой стоит (половина всех наблюдений минус накопленная частота предыдущего интервала), в знаменателе — частота самого медианного интервала, и всё это умножают на ширину интервала.

📐 Разбор формулы:

• Me — медиана; формула: Me = x₀ + h·(N/2 − S₋₁)/n_Me;
• x₀ — нижняя граница медианного интервала;
• h — ширина интервала;
• N/2 — половина всех наблюдений;
• S₋₁ — накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
• n_Me — обычная (не накопленная) частота медианного интервала.

Как работает: медиана делит наблюдения пополам и почти всегда попадает внутрь интервала. Формула «достраивает» точное положение медианы внутри медианного интервала: дробь показывает, какую долю интервала нужно пройти от его начала, чтобы набрать ровно половину наблюдений. Важно не перепутать накопленную частоту предыдущего интервала и обычную частоту медианного.

⚠️ Уточнение: в формуле участвуют именно накопленная частота предыдущего интервала и обычная (не накопленная) частота медианного интервала — их легко перепутать.

Мода

Самая простая характеристика: мода — это варианта с наибольшей частотой. Для интервального ряда модой берут середину того интервала, у которого частота максимальна.

🗣 Преподаватель сказал: про моду «точно можем сказать, что это наиболее вероятное значение признака». В разобранном дискретном примере мода и медиана совпали, но это вовсе не обязательно — обычно три средние величины близки к матожиданию, но различаются.

Группа 2. Показатели вариации (насколько разбросаны значения)

Если средние говорят, чего ожидать, то показатели вариации говорят про рассеивание, разброс значений вокруг среднего.

• Размах (обозначается R) — самый простой: разность наибольшего и наименьшего значений варианты. Грубовато характеризует разброс.
• Дисперсия (обозначается S²) — главный показатель. Это среднее значение квадратов отклонений вариант от средней арифметической (каждый квадрат отклонения умножается на относительную частоту). Удобная формула для счёта: средний квадрат минус квадрат среднего — то есть из среднего значения квадратов признака вычитают квадрат средней арифметической.

📐 Разбор формулы:

• S² — выборочная дисперсия (мера разброса вокруг средней);
• xᵢ — значение признака; x̄ — средняя арифметическая; (xᵢ − x̄) — отклонение от средней;
• ωᵢ — относительная частота; формула: S² = Σ(xᵢ − x̄)²·ωᵢ;
• рабочий вариант: S² = (среднее x²) − (x̄)² — «средний квадрат минус квадрат среднего».

Как работает: дисперсия усредняет квадраты отклонений от средней (квадрат не даёт плюсам и минусам гаситься). Рабочая формула короче: считают средний квадрат значений и вычитают квадрат средней. Это статистический аналог дисперсии D(X) случайной величины.

• Среднее квадратическое отклонение (S) — корень квадратный из дисперсии. Его смысл в том, что оно даёт разброс в размерности самой величины (в отличие от дисперсии, где размерность возводится в квадрат). Это разброс «вправо-влево» от среднего.

📐 Разбор формулы:

• S — выборочное среднее квадратическое отклонение; S² — дисперсия; √ — корень.

Как работает: так как дисперсия выражена в квадрате размерности, из неё берут корень, чтобы вернуться к единицам признака. S показывает типичный разброс значений вокруг средней.

• Коэффициент вариации (обозначается тильдой сверху) — отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, в процентах.

📐 Разбор формулы:

• Ṽ (буква с тильдой) — коэффициент вариации; формула: Ṽ = (S / x̄)·100 %;
• S — среднее квадратическое отклонение; x̄ — средняя арифметическая.

Как работает: коэффициент измеряет разброс относительно средней, а не в абсолютных единицах, поэтому позволяет сравнивать разнородные признаки. Если он больше 100 %, признак считают неоднородным (значения сильно различаются).

⚠️ Уточнение: если коэффициент вариации больше 100%, говорят о неоднородности признака — его значения сильно отличаются друг от друга. В разобранных примерах получились 7–8% и около 29% — то есть признаки достаточно однородные.

Группа 3. Моменты

Эта группа полностью аналогична тому, что было для случайных величин, только вместо вероятностей подставляются относительные частоты.

• Начальный момент k-го порядка — сумма произведений k-й степени значения признака на его относительную частоту. Начальный момент первого порядка совпадает со средней арифметической.
• Центральный момент k-го порядка — сумма произведений k-й степени отклонения значения от средней арифметической на относительную частоту. Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка — это и есть дисперсия.

Через центральные моменты выражаются два важных коэффициента формы:

• Асимметрия (A) — отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе. Если A больше нуля — асимметрия правосторонняя, меньше нуля — левосторонняя, равна нулю — полная симметрия (характерна для нормального распределения).

📐 Разбор формулы:

• A — коэффициент асимметрии; формула: A = μ₃ / S³;
• μ₃ — центральный момент 3-го порядка (среднее кубов отклонений от средней);
• S³ — среднее квадратическое отклонение в кубе (для обезразмеривания).

Как работает: нечётная третья степень сохраняет знак отклонений, поэтому у симметричного ряда кубы влево и вправо компенсируются и A = 0. Длинный хвост вправо даёт A > 0, влево — A < 0.

• Эксцесс (E) — отношение центрального момента четвёртого порядка к среднему квадратическому отклонению в четвёртой степени, минус три. Тройку вычитают потому, что для нормального распределения эта величина сама по себе равна трём; так нормальное распределение принимают за эталон с нулевым эксцессом. Эксцесс — это показатель «крутости» (островершинности) графика.

📐 Разбор формулы:

• E — эксцесс; формула: E = μ₄ / S⁴ − 3;
• μ₄ — центральный момент 4-го порядка (среднее четвёртых степеней отклонений);
• S⁴ — среднее квадратическое отклонение в четвёртой степени (для обезразмеривания);
• −3 — поправка, обнуляющая эксцесс у нормального распределения.

Как работает: μ₄ чувствителен к крупным отклонениям (хвостам). У нормального распределения μ₄/S⁴ = 3, поэтому тройку вычитают, делая нормальное эталоном с E = 0. Положительный E — острая («пикообразная») вершина, отрицательный — пологая.

➕ Преподаватель не упомянул: положительный эксцесс означает более острый, «пикообразный» график по сравнению с нормальным, а отрицательный — более пологий. В разобранном интервальном примере асимметрия вышла отрицательной (левосторонней), а эксцесс около −0,26, что на полигоне выглядело как островершинная, чуть смещённая влево кривая.

Введение в выборочный метод

В статистике мы наблюдаем значение некоторого признака. Замерить его можно у всех объектов сразу — но это дорого (пример: всероссийская перепись населения) или вообще невозможно (пример: чтобы проверить качество партии консервов, пришлось бы вскрыть и тем самым уничтожить каждую банку). Поэтому обычно обследуют только часть объектов.

Ключевые понятия:

• Генеральная совокупность — всё множество объектов, подлежащих изучению. Её объём обозначают большой буквой N (может быть и бесконечным).
• Выборочная совокупность (выборка) — часть объектов генеральной совокупности, отобранных для исследования. Её объём — маленькая n. По выборке судят о всей генеральной совокупности.
• Объём совокупности — количество объектов (генеральный или выборочный).

⚠️ Уточнение: главное требование к выборке — репрезентативность: она должна правильно представлять все основные характеристики генеральной совокупности. Репрезентативность обеспечивает прежде всего случайность отбора.

Виды выборки: случайная (элементы выбирают наугад), механическая (берут через равные интервалы, например каждый десятый элемент), типическая (случайно отбирают из заранее выделенных типических групп), серийная (отбирают целые группы-серии, а не отдельные элементы).

Способы образования выборки: повторный отбор (обследованный элемент возвращается обратно и теоретически может быть выбран снова) и бесповторный отбор (элемент не возвращается — как со вскрытой банкой консервов).

Характеристики генеральной совокупности оценивают по тем же характеристикам выборки (средняя, дисперсия, доля). Формулы те же самые; разница в обозначениях: для выборки дисперсия S², для генеральной совокупности σ². Везде, где для выборки стояла маленькая n, для генеральной совокупности ставится большая N — всё остальное идентично.

💡 Понятнее: разобранные ранее вариационные ряды (50 или 100 рабочих) — это и были выборки. По ним и судят о всей генеральной совокупности.

Следующая тема — оценка параметров, затем проверка статистических гипотез.

Повторение: с чего начали

Занятие начинается с напоминания: мы уже вошли в математическую статистику и разобрали вариационные ряды — одно из базовых её понятий. На прошлом занятии дали определения, разобрали графическое представление ряда и остановились на его характеристиках. Сегодня — сами характеристики и начало новой темы.

Ключевое отличие статистики от теории вероятностей: в теории вероятностей мы вычисляли вероятности значений случайной величины, а в статистике мы наблюдаем значения признака и подсчитываем их частотность.

Два вида рядов:

• Интервальный — значений много, исследовать каждое тяжело, поэтому разбивают на интервалы и заносят туда подсчёты.
• Дискретный — значения стоят достаточно равномерно, каждое можно выделить отдельно (не интервалы).

Для разбора берутся два готовых примера: дискретный ряд (тарифные разряды 1–6, общее число наблюдений 50) и интервальный ряд (выработка в отчётном году в процентах к предыдущему, общее число наблюдений 100).

Характеристики делятся на три группы

1. Средние величины.
2. Показатели вариации.
3. Моменты.

Группа 1. Средние величины

Средняя арифметическая

Обозначается чертой сверху. Формула: единица, делённая на N (число наблюдений), умноженная на сумму произведений значений признака на их частоты. Если введена относительная частота (частость = частота / общее число наблюдений), формула записывается как сумма произведений значений на относительные частоты.

📐 Разбор формулы:

• x̄ (буква с чертой) — средняя арифметическая; N — число наблюдений;
• xᵢ — значение признака (для интервала — середина интервала);
• nᵢ — частота; ωᵢ = nᵢ/N — относительная частота;
• формула: x̄ = (1/N)·Σ xᵢ·nᵢ = Σ xᵢ·ωᵢ.

Как работает: это «взвешенное» среднее: частые значения учитываются сильнее. Статистический аналог матожидания, где роль вероятностей играют частости.

Дискретный пример (тарифные разряды): считаем прямо по таблице. (1·2 + 2·3 + 3·6 + 4·8 + 5·22 + 6·9) = 222, делим на 50: средняя арифметическая = 4,4.

Это аналог математического ожидания — наиболее ожидаемое значение. Разряд 4,4 в реальности не встречается, ожидаем 4.

Интервальный пример (выработка): за значение варианты берём середину интервала. Шаг (ширина) интервала равен 6 (например, в интервале 94–100 серединой берут 97). Дальше каждую середину умножают на соответствующую относительную частоту и складывают: 97·0,03 + 103·0,07 + 109·0,11 + 115·0,2 + 121·0,28 + 127·0,19 + 133·0,1 + 139·0,02 средняя арифметическая ≈ 119,2%.

Медиана

Определение: медиана — середина ранжированного ряда наблюдений (расположенного по возрастанию или убыванию).

Дискретный ряд:

• N нечётное → медиана = варианта с номером (N+1)/2. (Пример: при 23 значениях номер = 24/2 = 12, то есть X₁₂.)
• N чётное → медиана = среднее арифметическое двух срединных вариант: (X_{N/2} + X_{N/2+1}) / 2.

Но в таблице вариационного ряда отдельных вариант не видно (данные сгруппированы, частоты подсчитаны). Поэтому правило: медиана — значение признака в той группе, где накопленная частота больше половины числа наблюдений.

Считаем накопленные частоты дискретного примера: 2 → 5 → 11 → 19 → 41 → 50. Наблюдений 50, половина = 25. Накопленная частота впервые превышает 25 в группе со значением 5 (накопленная 41). Медиана = 5. (25-я и 26-я варианты попадают в эту группу.)

Интервальный ряд: сначала находят медианный интервал — тот, где накопленная частота впервые больше половины наблюдений. Затем считают по формуле:

медиана = (нижняя граница медианного интервала) + ((0,5·N − накопленная частота предыдущего интервала) / частота медианного интервала) · (ширина интервала)

📐 Разбор формулы:

• Me — медиана; x₀ — нижняя граница медианного интервала; h — ширина интервала;
• 0,5·N — половина всех наблюдений; S₋₁ — накопленная частота интервала перед медианным;
• n_Me — обычная (не накопленная) частота медианного интервала;
• формула: Me = x₀ + h·(0,5N − S₋₁)/n_Me.

Как работает: медиана делит наблюдения пополам и попадает внутрь медианного интервала. Дробь показывает, какую долю интервала пройти от его начала, чтобы набрать ровно половину наблюдений. Важно не перепутать накопленную частоту предыдущего интервала и обычную частоту медианного.

Где:

• нижняя граница медианного интервала (варианта при нижней грани);
• N — число наблюдений;
• накопленная частота интервала перед медианным;
• частота самого медианного интервала (обычная, не накопленная);
• H — ширина медианного интервала.

Интервальный пример: N = 100, половина = 50. Накопленная частота впервые больше 50 = 69 — это медианный интервал (пятый по номеру). Данные: нижняя граница = 118; накопленная предыдущего = 41; частота медианного = 28; ширина = 6. 118 + ((0,5·100 − 41)/28)·6 = 118 + (9/28)·6 ≈ 118 + 1,93 Медиана ≈ 119,93.

Медиана и средняя арифметическая — в общем случае разные значения, но близкие к математическому ожиданию; медиану можно использовать как оценку, если средняя неизвестна.

Мода

Определение: мода — варианта с наибольшей частотой.

Дискретный пример: наибольшая частота (22) у значения 5 → мода = 5. (Здесь мода и медиана совпали, но это не обязательно.)

Интервальный пример: берут середину интервала с наибольшей частотой → мода = 121.

Итог по группе 1: средние величины (средняя арифметическая, медиана, мода) показывают значения, которые можно ожидать; про моду точно говорят, что это наиболее вероятное значение признака.

Группа 2. Показатели вариации

Показывают рассеивание, разброс значений.

Размах

Обозначается R — разность наибольшего и наименьшего значений варианты. Самый простой показатель (использовался при определении шага).

Дисперсия (S²)

Сумма произведений квадратов отклонений значений признака от средней арифметической на относительные частоты. Эквивалентная рабочая формула: средний квадрат минус квадрат среднего.

📐 Разбор формулы:

• S² — выборочная дисперсия; xᵢ — значение, x̄ — средняя; (xᵢ − x̄) — отклонение;
• ωᵢ — относительная частота; формула: S² = Σ(xᵢ − x̄)²·ωᵢ;
• рабочий вид: S² = (средний квадрат значений) − (x̄)².

Как работает: усредняет квадраты отклонений от средней (квадрат не даёт плюсам и минусам гаситься). Рабочая формула считает средний квадрат значений и вычитает квадрат средней. Это аналог дисперсии D(X) случайной величины.

Дискретный пример (через средний квадрат минус квадрат среднего): Средний квадрат: (1²·2 + 2²·3 + 3²·6 + 4²·8 + 5²·22 + 6²·9)/50 = 1070/50 = 21,4. Дисперсия: S² = 21,4 − 4,44² ≈ 21,4 − 19,7 ≈ 1,664.

Интервальный пример: Средний квадрат: 97²·0,03 + 103²·0,07 + … + 139²·0,02 = 14 296,12. Дисперсия: S² = 14 296,12 − 119,2² ≈ 87,48.

Среднее квадратическое отклонение (S)

Корень квадратный из дисперсии. Даёт разброс в размерности самой величины.

📐 Разбор формулы:

• S — среднее квадратическое отклонение; S² — дисперсия; √ — корень.

Как работает: дисперсия в квадрате размерности, поэтому из неё берут корень, возвращаясь к единицам признака. S показывает типичный разброс значений вокруг средней.

• Дискретный пример: S = √1,664 ≈ 1,29 (разброс «вправо-влево» от среднего).
• Интервальный пример: S = √87,48 ≈ 9,35.

Коэффициент вариации

Обозначается тильдой сверху. Отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, в процентах.

📐 Разбор формулы:

• Ṽ (с тильдой) — коэффициент вариации; формула: Ṽ = (S / x̄)·100 %;
• S — среднее квадратическое отклонение; x̄ — средняя арифметическая.

Как работает: измеряет разброс относительно средней, поэтому годится для сравнения разнородных признаков. Больше 100 % — признак неоднородный (значения сильно различаются).

• Интервальный пример: 9,35 / 119,2 · 100% ≈ 7,8%.
• Дискретный пример: 1,29 / 4,44 · 100% ≈ 29,25%.

Если коэффициент вариации больше 100% — признак неоднородный (значения существенно отличаются, требуют особого внимания). В обоих примерах признаки однородные.

Группа 3. Моменты

Полностью аналогичны моментам случайной величины, но вместо вероятности — относительная частота.

Начальные моменты

Начальный момент k-го порядка = сумма произведений k-й степени значения случайной величины на относительную частоту. Начальный момент 1-го порядка совпадает со средней арифметической.

Центральные моменты

Центральный момент k-го порядка = сумма произведений k-й степени отклонения значения от средней арифметической на относительную частоту.

• Центральный момент 1-го порядка всегда равен нулю.
• Центральный момент 2-го порядка — это дисперсия.

📐 Разбор формул:

• k — порядок момента (степень); xᵢ — значение; x̄ — средняя; ωᵢ — относительная частота;
• начальный момент: νₖ = Σ xᵢᵏ·ωᵢ (среднее k-й степени значений);
• центральный момент: μₖ = Σ(xᵢ − x̄)ᵏ·ωᵢ (среднее k-й степени отклонений от средней).

Как работает: моменты обобщают среднюю и дисперсию, но вместо вероятностей берут частости. Начальный момент 1-го порядка совпадает со средней x̄; центральный момент 1-го порядка всегда 0 (отклонения гасятся), а 2-го порядка равен дисперсии S². Моменты высших порядков описывают форму распределения.

Связанные характеристики

Асимметрия (A) — отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе.

• A > 0 → правосторонняя асимметрия;
• A < 0 → левосторонняя асимметрия;
• A = 0 → полная симметрия (нормальное распределение).

Эксцесс (E) — отношение центрального момента четвёртого порядка к среднему квадратическому отклонению в четвёртой степени, минус 3. Тройку вычитают потому, что для нормального распределения эта величина равна 3 (его принимают за эталон с нулевым эксцессом). Эксцесс — показатель крутости (островершинности).

📐 Разбор формул:

• A — асимметрия; формула: A = μ₃ / S³ (μ₃ — центральный момент 3-го порядка, S³ — СКО в кубе);
• E — эксцесс; формула: E = μ₄ / S⁴ − 3 (μ₄ — центральный момент 4-го порядка, S⁴ — СКО в 4-й степени).

Как работает: деление на степень СКО делает обе характеристики безразмерными. Нечётная степень в A сохраняет знак отклонений: A > 0 — хвост вправо, A < 0 — влево, A = 0 — симметрия. У нормального распределения μ₄/S⁴ = 3, поэтому в E вычитают тройку: положительный E — острая вершина, отрицательный — пологая.

Готовые значения для интервального примера: асимметрия ≈ −2 (левосторонняя), эксцесс ≈ −0,26. По гистограмме видно смещение влево, по полигону (по серединкам) — достаточно крутой, пикообразный график.

Введение в выборочный метод

В статистике наблюдают значение признака. Замерять можно у всех объектов, но это дорого (всероссийская перепись населения) или физически невозможно (проверка качества партии консервов потребовала бы вскрыть каждую банку и уничтожить партию). Поэтому обследуют часть объектов.

Определения:

• Генеральная совокупность — всё множество объектов, подлежащих изучению. Объём — большая N (может быть бесконечным).
• Выборочная совокупность (выборка) — часть объектов генеральной совокупности, отобранных для исследования. Объём — маленькая n.
• Объём совокупности — количество объектов (генеральный или выборочный).
• По выборке судят о генеральной совокупности.

Главное условие: выборка должна быть репрезентативной — правильно представлять все основные характеристики генеральной совокупности. Обеспечивается прежде всего случайностью отбора.

Виды выборки:

• случайная — элементы отбирают наугад, без разбиения на части;
• механическая — берут через равные интервалы (например, каждый десятый элемент);
• типическая — случайно отбирают из выделенных типических групп;
• серийная — случайно отбирают целые группы (серии), а не отдельные элементы.

Способы образования выборки:

• повторный отбор — обследованный элемент возвращается обратно и теоретически может быть выбран снова;
• бесповторный отбор — элемент не возвращается (как со вскрытой банкой консервов).

Характеристики: генеральную совокупность оценивают по характеристикам выборки (средняя арифметическая, дисперсия, доля/частота). Формулы те же самые. Различие в обозначениях: дисперсия выборки — S², дисперсия генеральной совокупности — σ² (сигма-квадрат, так как сигма — среднее квадратическое отклонение). Везде, где для выборки стояла маленькая n, для генеральной совокупности ставится большая N; остальное идентично.

Ранее разобранные вариационные ряды (50 и 100 рабочих) — это и были выборки.

Что дальше

Следующая тема — оценка параметров, затем проверка статистических гипотез и элементы корреляционного анализа.