С чего начали: два взгляда на вероятность

На прошлых занятиях мы считали классическую вероятность. Там мы действуем априори — то есть до опыта: не бросая монетку и не стреляя по мишеням, мы просто рассуждаем, сколько всего исходов и сколько из них благоприятных. Но на практике часто важен другой подход — апостериори, то есть после того, как испытания уже проведены.

💡 Понятнее: «априори» (a priori) — до опыта, из чистых рассуждений; «апостериори» (a posteriori) — после опыта, из наблюдений. Это латинские термины, и они задают всю логику двух подходов.

Статистическая вероятность

Идея простая: мы реально проводим испытания. Пусть n — число проведённых испытаний, а m — число тех испытаний, в которых интересующее нас событие A наступило. Тогда отношение

W(A) = m / n

📐 Разбор формулы:

• W(A) — относительная частота события A (W от немецкого/англ. — частость);
• m — число испытаний, в которых событие A фактически наступило;
• n — общее число реально проведённых испытаний.

Как работает: в отличие от классической вероятности, m и n здесь не вычисляют рассуждением, а наблюдают в опытах. Формула показывает фактическую долю успехов. При большом числе испытаний эта доля стабилизируется около некоторого числа — статистической вероятности.

называется относительной частотой наступления события A. Формула очень похожа на классическую вероятность, но разница принципиальная: в классической мы число исходов вычисляем рассуждением, а здесь — прямо наблюдаем в опытах.

Исторически проводились опыты с подбрасыванием монеты по тысяче раз. Каждый раз число выпадений орла было близко к 500 (например, 502, 511, 497…). То есть относительная частота колебалась около 0,5.

Из таких опытов виден главный факт: относительная частота стремится к некоторому постоянному значению при возрастании числа испытаний. Это свойство называется статистической устойчивостью. А то число, к которому относительная частота приближается при n → ∞, и называется статистической вероятностью.

⚠️ Уточнение: в этих примерах число подбрасываний обозначается через n (это число испытаний). В записи может встретиться путаница между m и n — держите в голове смысл: n — всего испытаний, m — успешных.

Зачем это нужно. Статистическая вероятность снимает главное ограничение классической: классическая требует равновозможности исходов, а статистическая — нет. Но у неё своё ограничение: чтобы относительная частота была устойчивой, испытания нужно повторять очень много раз.

Геометрическая вероятность

Это понятие чуть сложнее для восприятия. Представим испытание так: в некоторую геометрическую область G случайным образом бросается точка. Нас интересует событие — попадание в её часть g.

У любой геометрической области есть мера:

• для отрезка (линии) — это длина;
• для плоской фигуры — площадь;
• для пространственного тела — объём.

Других вариантов меры в геометрии нет. Геометрической вероятностью события A называется отношение меры «удачной» области к мере всей области:

P(A) = mes(g) / mes(G)

📐 Разбор формулы:

• P(A) — геометрическая вероятность события A;
• mes(G) — мера всей области G, куда бросается точка (длина, площадь или объём);
• mes(g) — мера «удачной» части g внутри G, попадание в которую означает A;
• mes — сокращение от measure («мера»).

Как работает: когда точка падает в область равномерно случайно, вероятность попасть в подобласть пропорциональна её размеру. Поэтому берут отношение меры удачной части к мере всей области. Важно выбрать правильный тип меры: для времени и отрезков — длину, для плоских фигур — площадь, для тел — объём.

💡 Понятнее: mes — это сокращение от «мера» (measure). Главное — не путать, какая именно мера нужна: если задача про время или длину, берём длины; если точка бросается на плоскую фигуру — площади.

Пример (ожидание мастера). Мастер может прийти в любой момент с 9:00 до 17:00. Какова вероятность, что он придёт между 12:00 и 14:30? Весь интервал — это длина 8 часов (mes(G) = 8), удачный интервал с 12:00 до 14:30 — длина 2,5 часа (mes(g) = 2,5). Тогда P = 2,5 / 8 ≈ 0,3125, то есть около 30% — примерно «3 шанса из 10».

🗣 Преподаватель сказал: в отличие от статистической вероятности (где результат уже посчитан после опыта), здесь мы рассуждаем априори — событие может произойти, а может и нет.

Классическая задача о встрече

Два друга договорились встретиться в перерыв с 11:00 до 11:30 (промежуток 30 минут). Пришедший первым ждёт другого 10 минут и уходит. Какова вероятность встречи, если каждый может прийти в любое время?

Вводим x — время прихода одного, y — время прихода второго. Оба меняются от 0 до 30 минут. Друзья встретятся, только если

|x − y| ≤ 10

📐 Разбор формулы:

• x — время прихода первого друга (в минутах от начала промежутка);
• y — время прихода второго друга;
• |x − y| — модуль (абсолютная величина) разности времён прихода;
• ≤ 10 — разность не превышает 10 минут ожидания.

Как работает: встреча состоится, если тот, кто пришёл первым, прождёт второго не дольше 10 минут — то есть разница их времён прихода не больше 10. Модуль ставят, потому что неизвестно, кто пришёл раньше, а длительность ожидания не бывает отрицательной. Условие раскрывается в полосу x − 10 ≤ y ≤ x + 10 на плоскости.

💡 Понятнее: модуль ставится потому, что мы не знаем, кто пришёл первым, а разница во времени ожидания не может быть отрицательной. Раскрываем модуль в систему: x − 10 ≤ y ≤ x + 10.

Геометрически: все возможные исходы — это квадрат 30×30, его площадь mes(G) = 900. Удачная область (полоса между двумя прямыми y = x + 10 и y = x − 10) считается так: из площади квадрата вычитаем два равных прямоугольных треугольника с катетами 20:

mes(g) = 900 − 2 · (½ · 20 · 20) = 900 − 400 = 500

Итого P = 500 / 900 = 5/9 ≈ 0,56.

⚠️ Уточнение: если в условии не сказано округлять, ответ лучше оставлять обыкновенной дробью (5/9). Округление до сотых/десятых делаем только когда это явно требуется.

Теоремы сложения вероятностей

Здесь начинается новая большая тема. Сложные (составные) события получаются из простых (элементарных) с помощью действий над событиями — сложения и умножения. На этой лекции разбираем сложение.

Сумма несовместных событий

Несовместные события — те, что не могут произойти одновременно в одном испытании (их произведение — пустое множество).

Теорема: вероятность появления хотя бы одного из несовместных событий равна сумме их вероятностей:

P(A₁ + A₂ + … + Aₙ) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(Aₙ)

📐 Разбор формулы:

• A₁, A₂, …, Aₙ — несовместные события (нижний индекс — их номер);
• A₁ + A₂ + … — сумма событий (наступит хотя бы одно из них, союз «или»);
• P(…) — вероятность соответствующего события;
• = P(A₁) + P(A₂) + … — сумма отдельных вероятностей.

Как работает: если события не могут произойти вместе, их «удачные» исходы не пересекаются. Поэтому шансы наступления хотя бы одного просто складываются — никакой исход не учитывается дважды.

Пример (стрелок). Вероятность выбить 10 очков — 0,2; вероятность выбить 9 очков — 0,4. Какова вероятность выбить не менее 9 очков (то есть 9 или 10)? События несовместны, поэтому P = 0,2 + 0,4 = 0,6.

Полная группа и противоположное событие

Полная группа несовместных событий — такая, что одно из событий обязательно наступит. Тогда сумма их вероятностей равна 1 (это достоверное событие). Пример: при броске кубика выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков — полная группа.

Отсюда важнейшее следствие. Событие A и противоположное ему Ā образуют полную группу, значит P(A) + P(Ā) = 1, откуда

P(Ā) = 1 − P(A)

📐 Разбор формулы:

• A — некоторое событие, P(A) — его вероятность;
• Ā — противоположное событие («не A», читается «A с чертой»);
• P(Ā) — вероятность того, что A НЕ произойдёт;
• 1 — вероятность достоверного события.

Как работает: событие и его противоположность образуют полную группу — одно из них наступает обязательно, поэтому их вероятности в сумме дают 1. Отсюда вероятность «не A» равна единице минус вероятность A. Часто проще посчитать один «неудачный» вариант и вычесть его, чем складывать множество «удачных».

💡 Понятнее: это часто резко упрощает решение. Вместо того чтобы складывать много «удачных» вариантов, иногда легче посчитать один «неудачный» и вычесть его из единицы.

Пример (бригада). В бригаде 2 женщины и 6 мужчин, жеребьёвкой выбирают 3 человека. Какова вероятность, что среди выбранных будет хотя бы одна женщина? Всего способов: C(8,3) = 56. Можно сложить варианты «1 женщина» и «2 женщины»: P = 30/56 + 6/56 = 36/56 = 9/14. А можно проще — через противоположное событие «ни одной женщины» (C(2,0)·C(6,3) = 20 способов): P = 1 − 20/56 = 36/56 = 9/14.

Сумма совместных событий

Совместные события могут наступить одновременно. Здесь добавляется поправка:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

📐 Разбор формулы:

• A, B — два совместных события (могут наступить одновременно);
• P(A + B) — вероятность того, что произойдёт A или B (хотя бы одно);
• P(A), P(B) — вероятности каждого события по отдельности;
• P(AB) — вероятность их совместного наступления (и A, и B сразу).

Как работает: если просто сложить P(A) и P(B), область их пересечения посчитается дважды. Поэтому вычитают P(AB), чтобы учесть общую часть лишь один раз. Для несовместных событий P(AB) = 0, и формула превращается в обычную сумму — то есть это более общий случай теоремы сложения.

то есть из суммы вероятностей вычитаем вероятность их совместного наступления.

Пример (кубик). Бросаем кубик. Какова вероятность, что выпадет чётное число или число, кратное трём? Чётные: 2, 4, 6 → P(A) = 3/6. Кратные трём: 3, 6 → P(B) = 2/6. Число 6 подходит обоим (события совместны), поэтому P(AB) = 1/6. Итого P = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.

➕ Преподаватель не упомянул (как ориентир): формула для совместных событий — это частный случай общего «принципа включений-исключений». Для несовместных событий P(AB) = 0, и она превращается в простую теорему сложения. Так что обе теоремы сложения — это по сути одна формула.

Что дальше

Следующая тема — теорема умножения вероятностей, с неё начнётся следующее занятие.

Лекция 3. Статистическая и геометрическая вероятность. Теоремы сложения вероятностей

Часть I. Завершение темы «Вероятность случайного события»

Ранее рассмотрена классическая вероятность (расчёт априори, до опыта). На этой лекции разобраны два оставшихся самостоятельных понятия — статистическая и геометрическая вероятность. Каждое применяется в строго определённых случаях.

1. Статистическая вероятность

Подход апостериори — расчёт производится после проведения испытаний.

Обозначения:

• n — число выполненных испытаний;
• m — число испытаний, в которых наступило событие A.

Относительная частота наступления события A:

W(A) = m / n

📐 Разбор формулы:

• W(A) — относительная частота события A;
• m — число испытаний, в которых A наступило;
• n — общее число проведённых испытаний.

Как работает: показывает фактическую долю успехов в опытах. В отличие от классической вероятности, m и n берут из наблюдений. При большом n частота стабилизируется около статистической вероятности.

Отличие от классической вероятности: число исходов n здесь наблюдается в опытах, а не вычисляется рассуждением.

Статистическая устойчивость. При возрастании числа испытаний относительная частота стремится к некоторому постоянному значению. Это значение (предел относительной частоты при n → ∞) и называется статистической вероятностью.

Историческая иллюстрация: при тысячах подбрасываний монеты число выпадений орла каждый раз было близко к 500 (502, 511, 497…), то есть относительная частота колебалась около 0,5.

Возможности и ограничения:

• статистическая вероятность преодолевает ограничение классической — не требуется равновозможность исходов;
• но для устойчивой оценки относительной частоты испытания нужно воспроизводить очень много раз.

Пример 1. Статистическая вероятность появления бракованной детали равна 0,03. Сколько бракованных деталей возможно в партии из 350?

• Дано: n = 350, W(A) = 0,03, событие A — «деталь бракованная». Найти m.
• 0,03 = m / 350 ⟹ m = 0,03 · 350 = 10,5.
• Поскольку число деталей целое, прогноз: примерно 10 или 11 бракованных деталей (это предсказание, а не точное утверждение).

Пример 2. Заказано 3100 пуговиц. При проверке 200 из них обнаружено 5 бракованных. Сколько наименьшее число запасных пуговиц надо дозаказать, чтобы пошив был без брака?

• Испытание — проверка пуговицы на брак: n = 200, m = 5.
• Относительная частота брака: W = 5/200 = 0,025.
• Ожидаемое число бракованных во всей партии: 3100 · 0,025 = 77,5.
• Округляем вверх: дозаказать 78 пуговиц.

2. Геометрическая вероятность

Постановка. В геометрическую область G случайным образом бросается точка. Событие A — попадание в часть области g.

Мера области (mes) зависит от типа области:

• отрезок / линия — длина;
• плоская фигура — площадь;
• пространственное тело — объём.

Определение. Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей событию A, к мере всей области:

P(A) = mes(g) / mes(G)

📐 Разбор формулы:

• P(A) — геометрическая вероятность события A;
• mes(G) — мера всей области G (длина, площадь или объём);
• mes(g) — мера удачной части g, попадание в которую означает A;
• mes — сокращение от measure («мера»).

Как работает: при равномерном бросании точки шанс попасть в подобласть пропорционален её размеру, поэтому берут отношение меры удачной части к мере всей области. Тип меры выбирают по задаче: время и отрезки — длина, плоские фигуры — площадь, тела — объём.

Это расчёт априори (как и классическая вероятность): событие может произойти, а может не произойти.

Пример 3 (ожидание мастера). Мастер приходит в любой момент с 9:00 до 17:00. Найти вероятность, что он придёт с 12:00 до 14:30.

• Вся область — интервал длиной 8 часов: mes(G) = 8.
• Удачная часть — интервал с 12:00 до 14:30 длиной 2,5 часа: mes(g) = 2,5.
• P(A) = 2,5 / 8 ≈ 0,3125 (≈ 30%, «около 3 шансов из 10»).

Пример 4 (задача о встрече). Два студента договорились встретиться с 11:00 до 11:30 (30 минут). Пришедший первым ждёт другого 10 минут, затем уходит. Найти вероятность встречи, если приход каждого равновозможен в любой момент.

Модель:

• x — время прихода первого, y — второго; 0 ≤ x ≤ 30, 0 ≤ y ≤ 30.
• Условие встречи: |x − y| ≤ 10 (модуль — потому что неизвестно, кто пришёл раньше).

📐 Разбор формулы:

• x, y — времена прихода первого и второго студента (в минутах);
• |x − y| — модуль разности их времён прихода;
• ≤ 10 — разность не больше 10 минут ожидания.

Как работает: встреча состоится, только если разрыв между приходами не превышает 10 минут (срок ожидания). Модуль нужен, так как неизвестно, кто пришёл первым, а длительность ожидания неотрицательна. На плоскости это полоса x − 10 ≤ y ≤ x + 10.

• Раскрытие модуля в систему: −10 ≤ x − y ≤ 10, то есть x − 10 ≤ y ≤ x + 10.

Геометрическое построение на координатной плоскости:

• все исходы — квадрат 30 × 30; mes(G) = площадь квадрата = 30 · 30 = 900;
• граничные прямые: y = x + 10 и y = x − 10;
• удачная область — полоса между прямыми внутри квадрата.

Площадь удачной области (квадрат минус два равных прямоугольных треугольника с катетами 20):

mes(g) = 900 − 2 · (½ · 20 · 20) = 900 − 400 = 500

Вероятность встречи:

P = 500 / 900 = 5/9 ≈ 0,56

Замечание об ответе: если в условии не указано округление, ответ записывают обыкновенной дробью (5/9). Округлять (до сотых, десятых) — только когда это явно требуется.

Общий ход решения задач на геометрическую вероятность:

1. формализовать условия задачи (записать неравенства/ограничения);
2. построить геометрическую область, соответствующую условию;
3. определить нужные меры (mes(g) и mes(G));
4. вычислить вероятность как их отношение.

Жёсткого универсального алгоритма «шаг 1 – шаг 2 – шаг 3» нет, так как задачи разнообразны.

---

Часть II. Теоремы теории вероятностей. Теорема сложения

Действия над событиями. Сложные (составные) события получаются из простых (элементарных) сложением и умножением. Элементарные события на более простые не раскладываются; сложные составные состоят из элементарных. Задача — научиться считать вероятности составных событий. На этой лекции — сложение.

1. Вероятность суммы несовместных событий

Несовместные события — не могут произойти одновременно в одном испытании. Их произведение — пустое множество.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из несовместных событий равна сумме их вероятностей:

P(A₁ + A₂ + … + Aₙ) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(Aₙ)

📐 Разбор формулы:

• A₁, …, Aₙ — несовместные события (индекс — номер);
• A₁ + A₂ + … — их сумма (наступит хотя бы одно, союз «или»);
• P(…) — вероятности соответствующих событий.

Как работает: у несовместных событий «удачные» исходы не пересекаются, поэтому вероятность того, что произойдёт хотя бы одно, равна простой сумме их вероятностей — без двойного счёта.

Пример 5 (стрелок). При одном выстреле стрелок выбивает 10 очков с вероятностью 0,2, а 9 очков — с вероятностью 0,4. Какова вероятность выбить не менее 9 очков?

• Событие C = «9 или 10 очков» = A + B (события несовместны).
• P(C) = P(A) + P(B) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

2. Полная группа несовместных событий

Определение. Полная группа несовместных событий — события A₁, A₂, …, Aₙ, которые одновременно наступить не могут, но одно из них в результате испытания обязательно произойдёт.

Следствие. Сумма вероятностей событий полной группы равна 1 (наступление одного из них — достоверное событие):

P(A₁) + P(A₂) + … + P(Aₙ) = 1

📐 Разбор формулы:

• A₁, …, Aₙ — события полной группы (попарно несовместны, одно обязательно наступит);
• P(A₁) + … + P(Aₙ) — сумма их вероятностей;
• = 1 — вероятность достоверного события.

Как работает: раз одно из событий группы наступает обязательно, наступление «хоть какого-то» из них — событие достоверное с вероятностью 1. Так как события несовместны, их вероятности складываются и в сумме дают единицу. Это даёт удобную проверку: посчитанные вероятности всех вариантов должны сложиться в 1.

Пример полной группы: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при броске кубика.

3. Вероятность противоположного события

Событие A и противоположное ему Ā образуют полную группу, поэтому P(A) + P(Ā) = 1. Отсюда важная формула:

P(Ā) = 1 − P(A)

📐 Разбор формулы:

• A — событие, P(A) — его вероятность;
• Ā — противоположное событие («не A»);
• P(Ā) — вероятность того, что A НЕ произойдёт;
• 1 — вероятность достоверного события.

Как работает: событие и его противоположность образуют полную группу из двух событий, их вероятности в сумме дают 1. Отсюда P(Ā) = 1 − P(A). Часто проще посчитать «неудачный» исход и вычесть его из единицы.

Это следствие теоремы сложения и свойства полной группы. Инструмент часто упрощает вычисления.

Пример 6 (бригада — два способа). В бригаде 2 женщины и 6 мужчин. Жеребьёвкой выбирают 3 человека. Какова вероятность, что среди выбранных хотя бы одна женщина?

Общее число вариантов:

C(8,3) = 8! / (5! · 3!) = (6·7·8)/(1·2·3) = 56

Полная группа благоприятствующих вариантов (по числу выбранных женщин):

• A₁ — 1 женщина и 2 мужчин: C(2,1)·C(6,2) = 2 · 15 = 30;
• A₂ — 2 женщины и 1 мужчина: C(2,2)·C(6,1) = 1 · 6 = 6;
• A₃ — 0 женщин и 3 мужчин: C(2,0)·C(6,3) = 1 · 20 = 20.

Проверка: 30 + 6 + 20 = 56 (полная группа).

Способ 1 (прямой). «Хотя бы одна женщина» = A₁ + A₂:

P = P(A₁) + P(A₂) = 30/56 + 6/56 = 36/56 = 9/14

Способ 2 (через противоположное). Противоположное событие «ни одной женщины» = A₃:

P = 1 − P(A₃) = 1 − 20/56 = 36/56 = 9/14

Полезное правило для сочетаний: C(k,k) = 1, C(k,1) = k, C(k,0) = 1.

📐 Разбор формулы:

• k — число элементов, из которых выбираем;
• C(k,k) — выбрать все k из k → ровно 1 способ (берём всё целиком);
• C(k,1) — выбрать один из k → k способов (по варианту на элемент);
• C(k,0) — выбрать ноль элементов → ровно 1 способ (пустой набор, ничего не берём).

Как работает: это частные случаи формулы сочетаний при крайних значениях. Они избавляют от расписывания факториалов: соглашение 0! = 1 как раз и обеспечивает, что C(k,k) и C(k,0) дают 1.

4. Вероятность суммы совместных событий

Совместные события могут наступить одновременно.

Теорема (для двух событий). Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного наступления:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

📐 Разбор формулы:

• A, B — совместные события (могут наступить вместе);
• P(A + B) — вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них;
• P(A), P(B) — вероятности каждого отдельно;
• P(AB) — вероятность их совместного наступления (и A, и B сразу).

Как работает: при простом сложении P(A) и P(B) область пересечения учитывается дважды, поэтому её вероятность P(AB) вычитают. Для несовместных событий P(AB) = 0 и формула сводится к обычной сумме — то есть это общий случай теоремы сложения.

Пример 7 (кубик). Кубик подбросили один раз. Какова вероятность, что на верхней грани появится либо чётное число, либо число, кратное трём?

• A — выпало чётное число: 2, 4, 6 ⟹ P(A) = 3/6;
• B — выпало число, кратное трём: 3, 6 ⟹ P(B) = 2/6;
• AB — число и чётное, и кратное трём: только 6 ⟹ P(AB) = 1/6.
• P(A + B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.

---

Итоги и что дальше

Завершена тема «вероятность случайного события»: рассмотрены классическая, статистическая и геометрическая вероятность. Начата тема «основные теоремы теории вероятностей»: разобрана теорема сложения (для несовместных и для совместных событий), понятие полной группы и формула вероятности противоположного события.

Следующая тема: теорема умножения вероятностей.

Ключевые формулы для экзамена

• Относительная частота: W(A) = m/n.
• Геометрическая вероятность: P(A) = mes(g)/mes(G) (мера — длина / площадь / объём).
• Сумма несовместных: P(A₁+…+Aₙ) = P(A₁)+…+P(Aₙ).
• Полная группа: P(A₁)+…+P(Aₙ) = 1.
• Противоположное событие: P(Ā) = 1 − P(A).
• Сумма совместных: P(A+B) = P(A)+P(B) − P(AB).