Лекция 1 — Введение, комбинаторика и базовые понятия теории вероятностей

Из чего собран курс

Дисциплина состоит из трёх классических разделов, которые изучаются строго в этом порядке:

1. вероятность случайных событий;
2. случайные величины;
3. математическая статистика.

Перед всем этим идёт вспомогательный раздел — комбинаторика.

💡 Понятнее: удобно держать в голове цепочку «комбинаторика → теория вероятностей → математическая статистика». Комбинаторика — это инструмент подсчёта (сколькими способами что-то можно сделать); теория вероятностей на её основе считает шансы наступления событий; а математическую статистику называют «наукой о принятии решений в условиях неопределённости» — именно она стоит за анализом данных и управленческими решениями.

Исторически теория вероятностей зародилась как теория азартных игр: математики искали выигрышную стратегию. Выяснилось, что универсальной выигрышной стратегии не существует — теория не говорит, произойдёт событие или нет, она лишь позволяет посчитать шансы.

Факториал

Факториал числа n — это произведение первых n натуральных чисел (натуральные = целые положительные):

n! = 1 · 2 · 3 · … · n

📐 Разбор формулы:

• n — натуральное число, для которого считается факториал;
• n! — сам факториал, читается «эн факториал»;
• 1 · 2 · 3 · … · n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n подряд.

Как работает: факториал считает, сколькими способами можно расставить n различных предметов по порядку: на первое место — n вариантов, на следующее — на один меньше, и так до единицы. Перемножение всех этих чисел и даёт n!.

Например, 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720. По дороге: 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720.

Факториал растёт очень быстро (уже 10! — это миллионы), поэтому в задачах его стараются не вычислять целиком, а сокращать. Для этого используют свойство:

n! = (n−1)! · n

📐 Разбор формулы:

• n! — факториал числа n;
• (n−1)! — факториал предыдущего числа (на единицу меньше);
• · n — умножение на само число n.

Как работает: формула связывает соседние факториалы: чтобы получить n!, достаточно взять уже посчитанный (n−1)! и домножить на n. Это позволяет «раскладывать» большой факториал до меньшего и сокращать одинаковые множители в дробях, не вычисляя огромные числа.

Это же свойство объясняет соглашение 0! = 1: подставим в формулу 1! = 0! · 1, а 1! = 1, значит 0! = 1.

💡 Понятнее: свойство n! = (n−1)!·n (и его варианты вроде 6! = 4!·5·6) — главный технический приём всего раздела. Когда в дроби сверху и снизу стоят факториалы, больший факториал «раскладывают» до меньшего и сокращают одинаковые части, чтобы не считать огромные числа.

Правила сложения и умножения

Пусть есть объекты, каждый из которых можно выбрать каким-то числом способов: первый — k₁ способами, второй — k₂, и т.д.

• Правило сложения (ключевое слово — «или»): если нужно выбрать или первый объект, или второй, …, число способов складывается: k₁ + k₂ + …
• Правило умножения (ключевое слово — «и»): если нужно выбрать и первый объект, и второй, …, число способов перемножается: k₁ · k₂ · …

Пример с корзиной (5 груш и 7 яблок):

• «достать или грушу, или яблоко» → 5 + 7 = 12 способов;
• «достать и грушу, и яблоко» → 5 · 7 = 35 способов.

💡 Понятнее: простой ориентир — «или» складывает, «и» перемножает. На лекции в момент про умножение прозвучало «5·7 = 12», но это оговорка: тут же исправлено на 35. Сложение даёт 12, умножение даёт 35.

Комбинаторные конфигурации

Дальше — четыре способа составлять комбинации из элементов множества. Чтобы выбрать нужную формулу, отвечают на два вопроса: важен ли порядок? и могут ли элементы повторяться?

Перестановки (берём все элементы, важен порядок)

Есть множество из n различных элементов. Число всех перестановок (способов выстроить их в ряд):

Pₙ = n!

📐 Разбор формулы:

• Pₙ — число перестановок из n элементов (P от французского permutation — «перестановка»);
• n — количество различных элементов, которые выстраивают в ряд;
• n! — факториал числа n.

Как работает: формула считает, сколькими способами можно упорядочить n различных элементов, используя их все. На первое место есть n кандидатов, на второе — n−1 (один уже занят) и так далее, поэтому общее число равно произведению n·(n−1)·…·1 = n!.

Пример: из цифр {1, 2, 3} получается 3! = 6 перестановок (123, 132, 213, 231, 312, 321). Из 4 разных букв слова «море» — 4! = 24 слова.

🗣 Преподаватель сказал: обозначение P идёт от французского слова, означающего «перестановка» (permutation).

Перестановки с повторениями. Если среди n элементов есть одинаковые (n элементов делятся на k типов, повторяющихся l₁, l₂, …, l_k раз), то одинаковые элементы между собой неразличимы, и число перестановок меньше:

P = n! / (l₁! · l₂! · … · l_k!)

📐 Разбор формулы:

• P — число перестановок с повторениями;
• n — общее число элементов;
• n! — факториал общего числа элементов;
• k — количество типов (групп) одинаковых элементов;
• l₁, l₂, …, l_k — сколько раз повторяется каждый тип (нижний индекс — номер типа);
• l₁!, l₂!, … — факториалы этих количеств в знаменателе.

Как работает: если бы все элементы были различны, перестановок было бы n!. Но одинаковые элементы между собой неразличимы: их перестановки внутри своей группы (а их l₁!, l₂! и т.д.) не дают новых вариантов. Поэтому n! делят на произведение факториалов повторов, убирая повторный счёт.

Пример со словом «математика»: всего n = 10 букв, типов k = 6 (м — 2, а — 3, т — 2, е — 1, и — 1, к — 1). Число перестановок:

10! / (2!·3!·2!·1!·1!·1!) = 151 200

Размещения (выбираем часть элементов, порядок важен)

Из n элементов выбираем m штук, и порядок имеет значение. Размещения без повторений:

A(n,m) = n! / (n−m)!

📐 Разбор формулы:

• A(n,m) — число размещений из n элементов по m (A от французского arrangement — «размещение»);
• n — сколько всего элементов в наличии;
• m — сколько элементов выбирают (порядок важен);
• n! — факториал общего числа элементов;
• (n−m)! — факториал числа оставшихся (невыбранных) элементов.

Как работает: на первое из m мест есть n кандидатов, на второе n−1, и так до (n−m+1)-го. Это убывающее произведение и есть n!/(n−m)!: деление на (n−m)! как раз «обрезает» лишний хвост факториала, оставляя ровно m множителей.

Пример: размещения из 3 по 2 → 3! / 1! = 6 (это все двузначные числа из разных цифр 1, 2, 3).

Размещения с повторениями (элементы можно брать снова):

Ā(n,m) = nᵐ

📐 Разбор формулы:

• Ā(n,m) — число размещений с повторениями из n по m (черта сверху указывает на «с повторениями»);
• n — число различных элементов, доступных для выбора;
• m — число выбираемых мест (порядок важен);
• nᵐ — n в степени m (n, перемноженное само на себя m раз).

Как работает: раз элементы можно брать повторно, на каждое из m мест независимо есть все n вариантов. По правилу умножения получаем n·n·…·n (m множителей) = nᵐ.

➕ Преподаватель не упомянул (точнее, показал на примере, но стоит зафиксировать формулой): формула nᵐ следует прямо из правила умножения — на каждое из m мест есть n вариантов, поэтому n · n · … · n (m раз) = nᵐ. А для размещений без повторений то же рассуждение даёт убывающее произведение n·(n−1)·… — отсюда и n!/(n−m)!.

Сочетания (выбираем часть элементов, порядок НЕ важен)

Если порядок выбранных элементов не важен, используют сочетания. Без повторений:

C(n,m) = n! / ((n−m)! · m!)

📐 Разбор формулы:

• C(n,m) — число сочетаний из n элементов по m (C от французского combinaison — «сочетание»);
• n — сколько всего элементов в наличии;
• m — сколько элементов выбирают (порядок НЕ важен);
• n! — факториал общего числа элементов;
• (n−m)! — факториал числа невыбранных элементов;
• m! — факториал числа выбранных (учитывает их внутренние перестановки).

Как работает: это формула размещений n!/(n−m)!, дополнительно делённая на m!. Деление на m! убирает варианты, отличающиеся лишь порядком одних и тех же выбранных элементов: при выборе без учёта порядка группа «1,2» и «2,1» — это один и тот же набор.

Их всегда меньше, чем размещений (потому что варианты, отличающиеся только порядком, считаются за один).

Сочетания с повторениями:

C̄(n,m) = (n+m−1)! / ((n−1)! · m!)

📐 Разбор формулы:

• C̄(n,m) — число сочетаний с повторениями из n по m (черта сверху — «с повторениями»);
• n — число различных типов элементов;
• m — сколько элементов выбирают (повторы разрешены, порядок не важен);
• (n+m−1)! — факториал числа n+m−1;
• (n−1)! — факториал числа n−1;
• m! — факториал числа выбранных элементов.

Как работает: когда элементы можно брать повторно и порядок не важен, выбор сводится к задаче «разложить m одинаковых предметов по n ящикам». Число таких раскладок и даёт выражение (n+m−1)!/((n−1)!·m!) — это сочетание из n+m−1 элементов по m.

💡 Понятнее: разница между размещением и сочетанием — только в том, важен ли порядок. «1, 2» и «2, 1» — это два разных размещения, но одно и то же сочетание. Поэтому формула сочетаний — это формула размещений, дополнительно делённая на m! (число перестановок внутри выбранной группы).

Базовые понятия теории вероятностей

После комбинаторики начали собственно теорию вероятностей — пока на уровне определений.

• Испытание — выполнение определённого комплекса условий (например, бросок монеты).
• Элементарный исход — простейший результат испытания (выпал герб; выпал номинал).
• Пространство элементарных исходов — множество всех возможных элементарных исходов.
• Событие — то, что мы наблюдаем в исходе; обозначается заглавными латинскими буквами (A, B, C, …). Например, A = «выпадение герба».

События делятся на три вида:

• достоверное — всегда происходит в результате испытания (вода при нормальном давлении, нагретая до 100 °C, закипит; из ящика с одними яблоками достанем яблоко);
• невозможное — никогда не происходит (достать грушу из ящика с одними яблоками);
• случайное — может произойти, а может и нет, заранее предсказать нельзя (что выпадет на монете; какой фрукт вытащим из ящика с яблоками и грушами).

Интерес представляют именно случайные события — достоверные и невозможные предопределены.

⚠️ Уточнение: прозвучало, что «обе стороны монеты могут выпасть» при условии, что монета симметричная. Это важная оговорка: классические формулы вероятности работают для симметричной («честной») монеты, где оба исхода равновозможны.

Благоприятствующий исход — элементарный исход, в котором интересующее нас событие наступает. Пример с игральным кубиком (исходы 1–6):

• событие A = «выпало чётное число» → благоприятствуют исходы 2, 4, 6 (три исхода);
• событие B = «чётное и кратное трём» (одновременно) → благоприятствует только 6 (один исход).

⚠️ Уточнение: в ходе разбора события B сначала мелькнуло «2 и 6», но затем верно поправлено: тройка нечётна, поэтому единственное число от 1 до 6, которое одновременно чётное и кратное трём, — это 6. Благоприятствует ровно один исход.

Итог: теория вероятностей — это математический аппарат, который позволяет определить вероятность (число шансов) наступления случайного события. На следующем занятии — виды случайных событий и сами определения вероятности (классическое, статистическое, геометрическое).

Организационная часть

• Дисциплина: «Теория вероятностей и математическая статистика», идёт в третьем и четвёртом модулях. Всего 68 часов, поровну на два модуля (по 34 часа); модуль — 11 недель. Встречи почти каждую неделю: лекция и семинар (лекций немного меньше, чем семинаров).
• Основной учебник — Кремер, загружен в Smart LMS; доступен и через электронную библиотеку.
• Курс состоит из трёх классических разделов: (1) вероятность случайных событий, (2) случайные величины, (3) математическая статистика. Предваряет их раздел комбинаторики.
• Подход: материал даётся «практически с нуля», максимально наглядно.

Контроль и оценивание

• Элементы текущего контроля: контрольная работа, самостоятельная работа, микроконтроль (их два), домашние задания, работа и активность на семинарах (учитывается в том числе посещаемость).
• Экзамен обязателен, «автоматов» нет. Ни один элемент контроля не является блокирующим.
• Работы пишутся один раз; пересдача — только при пропуске по уважительной причине.
• Контрольная работа — одна, по окончании второго раздела, ориентировочно на 10-й неделе модуля, на лекции, с прокторингом.
• Микроконтроль №1 — по окончании первого раздела (вероятность случайных событий), ориентировочно 7-я неделя. Микроконтроль №2 — во втором модуле (т.е. в 4-м модуле учебного года).
• Самостоятельная работа по математической статистике — примерно за две недели до экзамена.
• Работы выполняются в «траектории»; на контрольной и экзамене подключается прокторинг. Официальный источник информации — Smart LMS (ЭлиМС); рабочая коммуникация — в Telegram, официальные запросы — по корпоративной почте.

Зачем нужна комбинаторика

Комбинаторика — самостоятельный раздел математики о законах комбинирования и образования различных конфигураций объектов множества по определённым правилам. В курсе она нужна как база для решения задач теории вероятностей, а теория вероятностей, в свою очередь, лежит в основе математической статистики. Математическую статистику называют наукой о принятии решений в условиях неопределённости — на ней основан статистический анализ данных и управленческие решения.

Факториал

Определение: n! = 1·2·3·…·n — произведение первых n натуральных чисел.

📐 Разбор формулы:

• n — натуральное число, для которого считается факториал;
• n! — сам факториал (читается «эн факториал»);
• 1·2·3·…·n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n подряд.

Как работает: факториал показывает, сколькими способами можно упорядочить n различных предметов: на первое место n вариантов, на следующее на один меньше, и так до единицы. Произведение этих чисел и есть n!.

Примеры: 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720. Факториал растёт очень быстро (10! — миллионы), поэтому его стараются сокращать.

Свойство для преобразований: n! = (n−1)!·n (а также 6! = 5!·6 = 4!·5·6 и т.п.).

📐 Разбор формулы:

• n! — факториал числа n;
• (n−1)! — факториал предыдущего числа (на единицу меньше);
• · n — умножение на само число n.

Как работает: соседние факториалы отличаются ровно на множитель n. Это даёт удобный приём: больший факториал «раскладывают» до меньшего (например, 6! = 4!·5·6) и сокращают одинаковые части в дробях, не вычисляя громоздких произведений.

Соглашение: 0! = 1 (доказывается через свойство: 1! = 0!·1, значит 0! = 1).

📐 Разбор формулы:

• 0! — факториал нуля;
• = 1 — по определению равен единице.

Как работает: значение для нуля выбрано не произвольно. Подставив n = 1 в свойство n! = (n−1)!·n, получаем 1! = 0!·1; так как 1! = 1, отсюда 0! = 1. Это соглашение делает все формулы (сочетаний, размещений) корректными в пограничных случаях.

Правила сложения и умножения

Пусть объект A₁ можно выбрать k₁ способами, A₂ — k₂ способами, …, A_m — k_m способами (выборы независимы).

• Правило сложения — «или»: выбрать или A₁, или A₂, …, или A_m → k₁ + k₂ + … + k_m.
• Правило умножения — «и»: выбрать и A₁, и A₂, …, и A_m → k₁ · k₂ · … · k_m.

📐 Разбор формулы:

• A₁, A₂, …, A_m — выбираемые объекты (нижний индекс — порядковый номер объекта);
• k₁, k₂, …, k_m — число способов выбрать каждый из них;
• + в первой записи — сложение (правило «или»);
• · во второй записи — умножение (правило «и»).

Как работает: если из вариантов нужно выбрать что-то одно (или A₁, или A₂…), то взаимоисключающие способы просто складываются. Если же нужно сделать несколько выборов подряд (и A₁, и A₂…), каждый следующий выбор умножает число вариантов, поэтому способы перемножаются.

Пример (корзина: 5 груш, 7 яблок):

• «или грушу, или яблоко» → 5 + 7 = 12;
• «и грушу, и яблоко» → 5 · 7 = 35.

Ключевые слова: «или» → складываем, «и» → умножаем.

Комбинаторные конфигурации

Выбор формулы определяется двумя признаками: важен ли порядок и допустимы ли повторения.

Перестановки

Без повторений (n различных элементов, берём все, важен порядок): Pₙ = n!

📐 Разбор формулы:

• Pₙ — число перестановок из n элементов (P от permutation — «перестановка»);
• n — количество различных элементов;
• n! — факториал числа n.

Как работает: считает все способы выстроить n различных элементов в ряд, используя их все. На первое место n кандидатов, на второе n−1, и т.д.; произведение даёт n!.

• Пример: {1, 2, 3} → 3! = 6 перестановок (123, 132, 213, 231, 312, 321).
• Пример: слово «море» (4 разные буквы) → 4! = 24.

С повторениями (n элементов разбиты на k типов, повторяющихся l₁, …, l_k раз):

P = n! / (l₁!·l₂!·…·l_k!)

📐 Разбор формулы:

• P — число перестановок с повторениями;
• n — общее число элементов, n! — его факториал;
• k — число типов одинаковых элементов;
• l₁, l₂, …, l_k — сколько раз повторяется каждый тип (индекс — номер типа);
• l₁!, l₂!, … — факториалы этих повторов в знаменателе.

Как работает: будь все элементы различны, было бы n! перестановок. Но переставлять одинаковые элементы внутри своего типа бессмысленно — это не новые слова. Поэтому делят на произведение факториалов повторов, убирая дубли.

• Пример: «математика», n = 10, типы: м — 2, а — 3, т — 2, е — 1, и — 1, к — 1 (k = 6).
• 10!/(2!·3!·2!·1!·1!·1!). Сокращение: 3! в знаменателе гасит часть 10!, оставшийся 2!·2! = 4 тоже сокращается; итог 5·6·7·8·9·10 = 151 200.

Размещения (порядок важен, берём m из n)

Без повторений: A(n,m) = n! / (n−m)!

📐 Разбор формулы:

• A(n,m) — число размещений из n по m (A от arrangement — «размещение»);
• n — сколько всего элементов, n! — его факториал;
• m — сколько выбирают (порядок важен);
• (n−m)! — факториал числа невыбранных элементов.

Как работает: на первое из m мест n кандидатов, на второе n−1 и так далее — убывающее произведение из m множителей. Деление n! на (n−m)! как раз отсекает лишний «хвост» факториала, оставляя ровно m множителей.

• Пример: размещения из 3 по 2 → 3!/(3−2)! = 3!/1! = 6 (двузначные числа из разных цифр 1, 2, 3: 12, 21, 13, 31, 23, 32).
• Задача об автомобильных номерах (формат: 3 буквы + 3 цифры).
  • Цифры: всего 10 (0–9), выбираем 3 без повторений → A(10,3) = 10!/7! = 8·9·10 = 720.
  • Буквы: используются только 12 букв кириллицы, имеющих графические аналоги в латинице. Выбираем 3 без повторений → A(12,3) = 12!/9! = 10·11·12 = 1320.
  • Номеров, где не повторяются ни цифры, ни буквы (правило «и» → умножение): 720 · 1320.

С повторениями: Ā(n,m) = nᵐ (следует из правила умножения: на каждое из m мест по n вариантов).

📐 Разбор формулы:

• Ā(n,m) — число размещений с повторениями (черта сверху — «с повторениями»);
• n — число доступных различных элементов;
• m — число мест (порядок важен);
• nᵐ — n в степени m.

Как работает: раз элементы можно брать повторно, на каждое из m мест независимо приходится все n вариантов. По правилу умножения это n·n·…·n (m раз) = nᵐ.

• Продолжение задачи о номерах (с повторениями):
  • цифры: 10³ = 1000, но три нуля (000) не выдаются → 999;
  • буквы: 12³ = 1728;
  • итог: 999 · 1728 = 1 726 272 (≈ 1,7 млн; ещё умножается на число регионов).

Сочетания (порядок НЕ важен, берём m из n)

Без повторений: C(n,m) = n! / ((n−m)!·m!). Их меньше, чем размещений (варианты, отличающиеся только порядком, считаются за один).

📐 Разбор формулы:

• C(n,m) — число сочетаний из n по m (C от combinaison — «сочетание»);
• n — сколько всего элементов, n! — его факториал;
• m — сколько выбирают (порядок НЕ важен), m! — его факториал;
• (n−m)! — факториал числа невыбранных элементов.

Как работает: это формула размещений n!/(n−m)!, дополнительно делённая на m!. Деление на m! убирает повторный счёт наборов, отличающихся лишь порядком: при выборе без учёта порядка «1,2» и «2,1» — один и тот же набор.

• Пример (5 груш, 7 яблок): сколькими способами взять 2 груши и 2 яблока?
  • груши: C(5,2) = 5!/(3!·2!) = (4·5)/2 = 10;
  • яблоки: C(7,2) = 7!/(5!·2!) = (6·7)/2 = 21;
  • «и груши, и яблоки» (умножение): 10 · 21 = 210.

С повторениями: C̄(n,m) = (n+m−1)! / ((n−1)!·m!)

📐 Разбор формулы:

• C̄(n,m) — число сочетаний с повторениями (черта сверху — «с повторениями»);
• n — число различных типов элементов;
• m — сколько выбирают (повторы разрешены, порядок не важен), m! — его факториал;
• (n+m−1)! — факториал числа n+m−1;
• (n−1)! — факториал числа n−1.

Как работает: задача сводится к тому, чтобы разложить m одинаковых предметов по n типам. Число таких раскладок равно сочетанию из n+m−1 по m, что и даёт выражение (n+m−1)!/((n−1)!·m!).

• Пример (кондитерская): 4 вида пирожных, нужно купить 7 штук (порядок не важен, виды повторяются). C̄(4,7) = (4+7−1)!/((4−1)!·7!) = 10!/(3!·7!) = (8·9·10)/(1·2·3) = 120 способов.

Базовые понятия теории вероятностей

Тема 2 — испытание и события.

• Испытание — выполнение определённого комплекса условий.
• Элементарный исход — простейший результат испытания.
• Пространство элементарных исходов — множество всех возможных элементарных исходов.
• Событие — то, что наблюдается в исходе; обозначается заглавными латинскими буквами (A, B, C…).

Пример (монета): испытание — бросок (симметричной) монеты; элементарные исходы — выпал герб или номинал (= орёл/решка); событие A = «выпадение герба».

Виды событий

• Достоверное — всегда происходит (вода при нормальном давлении и 100 °C закипит; из ящика с одними яблоками достанем яблоко).
• Невозможное — никогда не происходит (достать грушу из ящика с одними яблоками).
• Случайное — может произойти или нет, заранее не предсказать (исход броска монеты; какой фрукт вытащим из ящика с яблоками и грушами). Именно случайные события представляют интерес.

Благоприятствующие исходы

Благоприятствующий исход — элементарный исход, в котором интересующее нас событие наступает.

Пример (игральный кубик, исходы 1–6):

• A = «выпало чётное число» → благоприятствуют 2, 4, 6 (3 исхода);
• B = «чётное и одновременно кратное трём» → благоприятствует только 6 (1 исход; тройка нечётна, поэтому 3 не подходит).

Итог: теория вероятностей — математический аппарат для определения вероятности (числа шансов) наступления случайного события.

Что дальше

На следующем занятии начнут с видов случайных событий, затем — определения вероятности (классическое, статистическое, геометрическое) и действия над событиями.