Входим через Telegram…
Конспект и транскрипт одним файлом
Загрузите его в ChatGPT, Claude или NotebookLM и спрашивайте по занятию: что говорили про задания и сроки, объясни непонятную тему, составь вопросы для повторения.
Мы переходим от вероятностей случайных событий (раздел 1) к случайным величинам (раздел 2). Идея простая: очень часто результат испытания — это какое-то число. Бросили игральную кость — выпало число очков. Стреляем по мишени — получаем количество попаданий или выбитый балл. Это уже не просто «событие А произошло / не произошло», а именно числовая характеристика результата.
🗣 Преподаватель сказал: результатом испытания очень часто является появление некоторого числа — и возникает острая необходимость изучать закономерности таких чисел, чем и занимается этот раздел.
Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно значение из множества возможных, причём заранее это значение неизвестно и зависит от множества причин, которые мы не можем учесть.
Классический пример: X — число очков, выпадающих на верхней грани игральной кости. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какое выпадет — заранее не знаем, поэтому величина случайная.
💡 Понятнее: «величина» здесь подчёркивает, что речь о числе (в отличие от события «выпал орёл»). А «случайная» — что конкретное число предсказать нельзя.
Обозначения (важно не путать):
⚠️ Уточнение: случайные события обычно обозначают A, B, C…, а случайные величины — X, Y, Z (как переменные в математике). Это разные вещи, держите различие в голове.
Случайные величины делятся на две группы:
🗣 Преподаватель сказал: главное отличие именно в счётности множества значений. Сегодня говорим только про дискретную случайную величину.
ДСВ принимает свои значения с разными вероятностями. Закон распределения — это правило, по которому каждому значению случайной величины ставится в соответствие вероятность его появления.
Самый наглядный способ задать его для ДСВ — ряд распределения. Это таблица из двух строк:
Для кости ряд был бы: значения 1,2,3,4,5,6 и под каждым вероятность 1/6.
➕ Преподаватель не упомянул: на лекции в записанном на доске ряду для кости из шести значений случайно пропущена пятёрка (перечислено «1, 2, 3, 4, 6») — на смысл это не влияет, значений ровно шесть, у каждого вероятность 1/6.
Условие нормировки. Принятие случайной величиной каждого из значений — это событие, а все эти события образуют полную группу. Поэтому сумма всех вероятностей обязательно равна единице:
Σ(i=1..n) pi = 1
📐 Разбор формулы:
- Σ (заглавная греческая «сигма») — знак суммы;
- i — номер значения случайной величины (индекс суммирования);
- i = 1..n — суммируем по всем значениям от первого до n-го;
- pᵢ — вероятность того, что величина примет i-е значение;
- = 1 — сумма всех вероятностей равна единице.
Как работает: случайная величина обязательно примет какое-то одно из своих значений — эти события образуют полную группу. Поэтому их вероятности в сумме дают 1 (условие нормировки). Если сумма получилась не 1 — в ряде распределения есть ошибка.
🗣 Преподаватель сказал: если сумма не равна единице — где-то ошибка, надо проверять. Это условие называется условием нормировки.
💡 Понятнее: значок Σ (заглавная греческая «сигма») — это знак суммы. Запись Σ от 1 до n означает «сложить p1 + p2 + … + pn».
Разыгрывается автомобиль за 5000 ден. ед., 4 телевизора по 250, 5 холодильников по 200. Продано 1000 билетов по 10 ден. ед. Построить ряд распределения чистого выигрыша на один билет.
Ключевая мысль: чистый выигрыш — как прибыль = выручка − издержки. Билет стоит 10, поэтому из стоимости приза всегда вычитаем 10.
Вероятности (классическое определение, знаменатель — 1000 билетов). Выигрышных билетов всего 1+4+5 = 10, значит без выигрыша 990:
Проверка нормировки: 0,99 + 0,005 + 0,004 + 0,001 = 1 ✓.
⚠️ Уточнение: при построении ряда значения обычно располагают в порядке возрастания; здесь самое вероятное событие (проигрыш) даёт −10, а самый редкий и крупный выигрыш — автомобиль (вероятность всего 0,001).
Чтобы наглядно показать, с какими вероятностями принимаются значения, строят график. По горизонтальной оси (абсцисс) откладывают возможные значения x, по вертикальной — вероятности p. Точки (xi, pi) соединяют ломаной линией. Эта ломаная называется полигоном распределения (другое название — многоугольник распределения).
🗣 Преподаватель сказал: полигон строится только для наглядности; это, по сути, табличное построение графика по ряду распределения.
Это другая форма задания распределения. Функция распределения F(x) — это вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного x:
F(x) = P(X < x)
📐 Разбор формулы:
- F(x) — функция распределения, заданная для каждого числа x;
- X — сама случайная величина (большая буква);
- x — фиксированное число, с которым сравниваем (малая буква);
- P(X < x) — вероятность того, что величина X окажется меньше x.
Как работает: F(x) «накапливает» вероятности всех значений, которые меньше x. Она показывает, какова доля вероятности, лежащая левее точки x. По мере роста x функция набирает вероятность от 0 (левее всех значений) до 1 (правее всех). Это универсальная форма задания распределения, годная и для дискретных, и для непрерывных величин.
Её называют также интегральной, потому что её значение вычисляется суммированием (накоплением) вероятностей отдельных значений, а суммирование связано с интегрированием.
💡 Понятнее: слово «интегрирование» по сути означает «суммирование». F(x) играет роль первообразной: вероятность попадания в интервал считается как разность значений F на концах — это та же логика, что и формула Ньютона–Лейбница для определённого интеграла.
Свойства функции распределения:
📐 Разбор формулы:
- X — случайная величина;
- a, b — границы интервала (a — левая, b — правая);
- P(a ≤ X < b) — вероятность того, что величина попадёт в полуинтервал [a; b);
- F(b), F(a) — значения функции распределения в правой и левой границах.
Как работает: F(b) — это вся вероятность левее b, F(a) — вся вероятность левее a. Их разность оставляет ровно ту вероятность, что лежит между a и b. Это та же логика, что у формулы Ньютона–Лейбница: разность первообразной на концах даёт «накопление» на интервале.
Студенту сдавать 3 экзамена A, B, C с вероятностями сдачи 0,9; 0,8; 0,7. X — число сданных экзаменов. События независимы; вероятность «не сдать» = 1 − вероятность «сдать» (то есть 0,1; 0,2; 0,3).
Возможные значения X: 0, 1, 2, 3.
Проверка нормировки: 0,006 + 0,092 + 0,398 + 0,504 = 1 ✓.
💡 Понятнее: варианты «сдан ровно один» несовместны (либо первый, либо второй, либо третий), поэтому их вероятности складываем; внутри каждого варианта события независимы, поэтому вероятности перемножаем.
Функция распределения (накапливаем вероятности слева направо):
🗣 Преподаватель сказал: здесь наглядно видно «аккумуляцию» — каждое следующее значение F включает все предыдущие вероятности.
График F(x) для ДСВ — ступенчатый. На каждом промежутке функция постоянна, в точках скачка ступенька поднимается. Важно: на каждой ступеньке левый конец выколотый, правый — включённый, потому что у функции в одной точке не может быть двух значений.
⚠️ Уточнение: числовые характеристики дискретной случайной величины (матожидание, дисперсия и т. п.) на этой лекции не разбирались — они вынесены на следующее занятие.
Завершён раздел 1 (вероятности случайных событий), начинается раздел 2 — случайные величины. Часто результат испытания — это число (число очков на кости, количество попаданий или выбитый балл при стрельбе). Изучение закономерностей таких чисел — предмет этого раздела.
Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно значение из множества возможных, причём заранее это значение неизвестно и зависит от множества причин, которые невозможно учесть.
Пример: X — число очков на верхней грани игральной кости; возможные значения 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Обозначения:
Закон распределения — правило, по которому каждому возможному значению случайной величины ставится в соответствие вероятность его появления.
Наглядный способ задания закона распределения ДСВ — таблица из двух строк:
| xi | x1 | x2 | … | xn |
|---|---|---|---|---|
| pi | p1 | p2 | … | pn |
Пример с костью: значения 1…6, под каждым вероятность 1/6.
Все значения СВ образуют полную группу событий, поэтому:
Σ (i=1..n) pi = 1
📐 Разбор формулы:
- Σ (греческая «сигма») — знак суммы;
- i — номер значения (индекс суммирования), i = 1..n — по всем значениям;
- pᵢ — вероятность i-го значения случайной величины;
- = 1 — все вероятности в сумме дают единицу.
Как работает: величина обязательно примет какое-то из своих значений, эти события образуют полную группу, поэтому их вероятности складываются в 1. Это условие нормировки — главная проверка правильности ряда распределения.
Если сумма не равна 1 — допущена ошибка (не учтено значение или неверно посчитаны вероятности). Это условие нормировки — обязательная проверка правильности построенного ряда.
(Обозначение Σ — заглавная «сигма», знак суммы; Σ от 1 до n = p1 + p2 + … + pn.)
Условие. Разыгрываются: автомобиль (5000 ден. ед.), 4 телевизора (по 250), 5 холодильников (по 200). Продано 1000 билетов по 10 ден. ед. Построить ряд распределения чистого выигрыша на один билет.
Случайная величина X — чистый выигрыш на один билет (= стоимость приза − стоимость билета).
Значения:
Вероятности (классическое определение, всего 1000 билетов; выигрышных 1+4+5 = 10, без выигрыша 990):
Ряд распределения:
| xi | −10 | 190 | 240 | 4990 |
|---|---|---|---|---|
| pi | 0,99 | 0,005 | 0,004 | 0,001 |
Проверка нормировки: 0,99 + 0,005 + 0,004 + 0,001 = 1 ✓.
Замечание: при построении ряда вероятности могут находиться не только через классическую вероятность, но и через элементы комбинаторики (сочетания, размещения, перестановки).
Графическое представление ряда распределения:
Эта ломаная — полигон распределения (он же многоугольник распределения). Строится исключительно для наглядности.
Определение. Функция распределения F(x) — вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного x:
F(x) = P(X < x)
📐 Разбор формулы:
- F(x) — функция распределения, заданная для каждого числа x;
- X — сама случайная величина (большая буква);
- x — фиксированное число для сравнения (малая буква);
- P(X < x) — вероятность того, что X окажется меньше x.
Как работает: F(x) накапливает вероятности всех значений левее x, показывая, какая доля вероятности лежит до точки x. С ростом x функция набирает вероятность от 0 до 1. Это универсальная форма задания распределения — для дискретных и непрерывных величин.
Называется также интегральной, так как её значение получается суммированием (накоплением) вероятностей значений СВ (интегрирование = суммирование).
📐 Разбор формулы:
- X — случайная величина, a, b — границы интервала (a левая, b правая);
- P(a ≤ X < b) — вероятность попадания величины в полуинтервал [a; b);
- F(b), F(a) — значения функции распределения в границах.
Как работает: F(b) — вся вероятность левее b, F(a) — левее a. Их разность оставляет вероятность, лежащую между a и b. Это та же идея, что у формулы Ньютона–Лейбница: разность первообразной на концах даёт накопление на интервале.
Условие. Студент сдаёт 3 экзамена A, B, C с вероятностями сдачи 0,9; 0,8; 0,7. X — число сданных экзаменов. Построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения и её график.
События независимы; вероятности «не сдать»: 0,1; 0,2; 0,3.
Возможные значения X: 0, 1, 2, 3.
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| pi | 0,006 | 0,092 | 0,398 | 0,504 |
Проверка нормировки: 0,006 + 0,092 + 0,398 + 0,504 = 1 ✓.
Логика подсчёта: несовместные варианты (сдан первый / второй / третий) — складываем вероятности; внутри варианта независимые события — перемножаем.
Точки (0; 0,006), (1; 0,092), (2; 0,398), (3; 0,504) соединяются ломаной — вероятность плавно растёт (так как вероятности сдачи высоки).
Для ДСВ график ступенчатый: на каждом промежутке F(x) постоянна, в точках возможных значений — скачок вверх. На каждой ступеньке левый конец выколотый, правый включённый (у функции в одной точке не может быть двух значений). Высоты ступеней: 0 → 0,006 → 0,098 → 0,496 → 1.
Загружаю транскрипт…