Входим через Telegram…
Конспект и транскрипт одним файлом
Загрузите его в ChatGPT, Claude или NotebookLM и спрашивайте по занятию: что говорили про задания и сроки, объясни непонятную тему, составь вопросы для повторения.
Кратко за минуту:
Это продолжение темы «Вероятность случайного события». На прошлой лекции разобрали, что такое испытание (комплекс условий) и событие (то, что мы наблюдаем как исход испытания), а также деление событий на достоверные, невозможные и случайные. Теперь идём дальше — классифицируем именно случайные события и учимся с ними работать.
Равновозможные — нет оснований считать, что одно наступит вероятнее другого. Классика: симметричная монета (герб и номинал равновероятны), грань игрального кубика (каждая из шести выпадает одинаково часто).
Несовместные — не могут наступить одновременно в одном испытании; появление одного исключает другое. Выпал герб — номинал уже не выпал. Выпало одно очко на кубике — другие в этом броске не выпали.
Совместные — могут наступить вместе в одном испытании.
💡 Понятнее: пример из лекции — бросаем кубик. Событие A = «выпало чётное число», событие B = «выпало число больше четырёх». Они совместны, потому что есть общий исход — шестёрка: она и чётная, и больше четырёх. Значит, оба события могут произойти одновременно.
Противоположные — особый случай несовместных: они несовместны И одно из них обязательно наступает. «Третьего не дано»: герб или номинал; попадание или промах.
⚠️ Уточнение: не путайте противоположные события с просто несовместными. На кубике «выпала двойка» и «выпала тройка» несовместны, но НЕ противоположны: если не выпала двойка, это ещё не значит, что выпала тройка — могла выпасть единица, четвёрка и т. д. Противоположность требует, чтобы кроме двух вариантов вообще ничего не было.
Полная группа — события образуют полную группу, если в результате испытания обязательно произойдёт хотя бы одно из них. Шесть исходов броска кубика — полная группа: что-то одно из шести точно выпадет.
➕ Преподаватель уточнил по вопросу из аудитории: два противоположных события — это частный (самый маленький) случай полной группы. Понятие полной группы шире: в ней может быть три, четыре, шесть и больше попарно несовместных событий. Главное свойство — одно из них обязательно происходит.
Элементарные (простые) — их нельзя разбить на более простые. Составные (сложные) — их можно представить как комбинацию простых. Список видов событий на этом не заканчивается — его будут дополнять по ходу курса.
События обозначают большими латинскими буквами: A, B, C. Противоположное к A пишут как A с чертой сверху — это читается «не A» (отрицание).
Чтобы решать задачи, события комбинируют. Для наглядности используют диаграммы Эйлера—Венна (из теории множеств): есть прямоугольник — пространство элементарных исходов, внутри — области событий A и B.
Событие C = A + B состоит в том, что произойдёт A, или B, или оба одновременно. Ключевой союз — «или».
Событие C = A · B состоит в том, что A и B произошли одновременно. Ключевой союз — «и». На языке множеств это пересечение.
💡 Понятнее: вся разница между суммой и произведением — в союзе. «Или» (хотя бы одно) → сумма. «И» (оба сразу) → произведение. Пример со стрельбой: A = попадание при первом выстреле, B = попадание при втором. Тогда A + B = «попал хотя бы при одном» (при первом, или при втором, или при обоих), а A · B = «попал и при первом, и при втором».
Записывают «A \ B» (читается «A без B»); допустимо и «A − B». Это «A произошло, а B — нет».
Пример: A = попадание при первом выстреле, B = при втором. Тогда A \ B = «попал при первом и НЕ попал при втором».
Пусть A_i = «фирма получила прибыль в i-м квартале». Тогда:
Это и есть составные события, собранные из простых с помощью действий.
Теория вероятностей ищет закономерности случайных событий. Классическая вероятность — первый способ их считать. Её особенность: считаем до опыта (априори), не проводя само испытание, — просто рассуждая о числе вариантов.
Вводим обозначения:
Формула классической вероятности:
P(A) = m / n
📐 Разбор формулы:
- P(A) — вероятность события A (P от probability — «вероятность»);
- m — число элементарных исходов, благоприятствующих событию A (в которых A наступает);
- n — общее число всех элементарных исходов испытания (все равновозможные варианты).
Как работает: формула считает долю «удачных» исходов среди всех возможных. Работает только когда все n исходов равновозможны: тогда вероятность — это просто отношение числа подходящих случаев к числу всех случаев. Значение всегда лежит между 0 (невозможное событие) и 1 (достоверное).
(P — от слова «probability»). По сути считаем долю «удачных» шансов среди всех возможных.
➕ Важное условие, которое стоит держать в голове: классическая формула работает именно тогда, когда все n исходов равновозможны. Поэтому в примерах всё сводят к равновероятным элементарным исходам.
Простые иллюстрации: монета — n = 2, для герба m = 1. Кубик — n = 6; для «выпало чётное» m = 3 (это 2, 4, 6).
Монета бросается дважды, A = «выпадает герб». Перебираем исходы: ГГ, ГН, НГ, НН → n = 4. Герб встречается в трёх из них → m = 3. P(A) = 3/4.
💡 Понятнее: тут легко ошибиться. 3/4 получается потому, что событие сформулировано как «герб выпадет (хотя бы где-то)». Если бы спросили «выпал ровно один герб» или «герб в первом броске» — было бы 1/2. Точная формулировка события решает всё.
Карточки с буквами М, О, Р, Е, тянем по одной. Сколько всего вариантов выложить 4 разные буквы? Это перестановки: 4! = 1·2·3·4 = 24, значит n = 24. Слово «море» складывается единственным способом, m = 1. P = 1/24.
Код из трёх различных цифр угадать с первого раза. Цифр десять (0–9), порядок важен (код), повторов нет → размещения из 10 по 3: 10!/(10−3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720. Подходящий код один, m = 1. P = 1/720.
💡 Понятнее — как выбрать формулу: если делаем выбор элементов и порядок важен — это размещение (код сейфа: 1-2-3 и 3-2-1 — разные коды). Если порядок не важен — сочетание. Это ключевой выбор во всех таких задачах.
Урна: 5 белых и 4 чёрных шара, достаём 3 наугад. Шары на ощупь одинаковы, порядок не важен → используем сочетания. Всего способов достать 3 из 9: C(9,3) = 9!/(6!·3!) = 84, это n для обоих событий.
➕ Полезное свойство, которое прозвучало: C(n,1) = n. Выбрать один элемент из n можно ровно n способами — это удобно помнить, чтобы не расписывать факториалы.
📐 Разбор формулы:
- C(n,1) — число сочетаний из n элементов по одному;
- n — число элементов, из которых выбираем;
- = n — результат равен самому n.
Как работает: взять ровно один элемент из n можно n способами — по одному варианту на каждый элемент. Это частный случай общей формулы сочетаний при m = 1, удобный, чтобы не расписывать факториалы.
На этой лекции дошли до классической вероятности. Статистическую и геометрическую вероятность разберут на следующем занятии.
Закреплены контрольные точки (даты зафиксированы):
Тематический план — рабочий и «живой», порядок и темп могут немного сдвигаться, но контрольные точки неизменны. Тренировочные тесты по теории вероятностей уже доступны в учебной траектории — можно выборочно прорешивать.
Оговорка преподавателя: список видов событий не исчерпывающий, будет дополняться по ходу курса.
Разобранный вопрос аудитории: чем полная группа отличается от противоположных событий. Ответ: противоположные — это всегда ровно два события и частный случай; полная группа — более общее понятие (любое число попарно несовместных событий, одно из которых точно наступит).
Для наглядности используются диаграммы Эйлера—Венна (пространство элементарных исходов + области A и B).
Событие C, состоящее в том, что произойдёт A, или B, или оба одновременно. Ключевой союз — «или».
Пример (стрельба): A — попадание при первом выстреле, B — при втором. A + B = «попадание при первом, или при втором, или при обоих». Совместность зависит от постановки: при одновременном залпе двух стрелков события совместны; при последовательных выстрелах — несовместны (по логике самого испытания).
Событие C, состоящее в том, что A и B наступили одновременно. Ключевой союз — «и». На языке множеств — пересечение.
Записывается «A \ B» (или «A − B»). Это «A произошло, B — нет».
A_i = «получение прибыли в i-м квартале»:
📐 Разбор формулы:
- A_i — событие «прибыль в i-м квартале» (нижний индекс i — номер квартала, от 1 до 4);
- + — сумма событий (союз «или», хотя бы одно из них);
- · — произведение событий (союз «и», одновременно все);
- (не A₂) — противоположное событие «во 2-м квартале прибыли НЕ было».
Как работает: сложные события собирают из простых действиями. Сумма даёт «хотя бы один», произведение — «все сразу», а сочетание событий и их отрицаний задаёт точный сценарий: например, A₁·(не A₂)·A₃·(не A₄) описывает прибыль строго в 1-м и 3-м кварталах и её отсутствие во 2-м и 4-м.
Эти действия понадобятся для теорем теории вероятностей.
Считаем до опыта (априори), не проводя испытание.
Обозначения:
Формула: P(A) = m / n (P — от «probability»). Это доля благоприятных шансов.
📐 Разбор формулы:
- P(A) — вероятность события A (P от probability — «вероятность»);
- m — число исходов, благоприятствующих A (в которых A наступает);
- n — общее число всех равновозможных элементарных исходов.
Как работает: вероятность — это доля «удачных» исходов среди всех. Формула применима только при равновозможных исходах. Результат всегда от 0 (невозможное событие) до 1 (достоверное).
Простые иллюстрации: монета — n = 2, m = 1 для герба; кубик — n = 6, m = 3 для «чётного числа очков» (2, 4, 6).
Исходы: ГГ, ГН, НГ, НН → n = 4. Герб встречается в трёх → m = 3. P(A) = 3/4. Замечание: ответ зависит от формулировки. «Ровно один герб» или «герб в первом броске» дали бы 1/2.
Четыре разные буквы тянут по одной. Всего вариантов — перестановки: 4! = 24 (n = 24). «Море» получается единственным способом (m = 1). P = 1/24. Разбор вопроса «может ли m = 2»: нет — буквы различны, благоприятный порядок один.
Цифр 10 (включая 0, код может начинаться с нуля), порядок важен, без повторений → размещения: A(10,3) = 10!/7! = 8·9·10 = 720 (n = 720). Нужный код один (m = 1). P = 1/720. Ключ: важен порядок выбора → размещение; не важен → сочетание.
Шары на ощупь одинаковы, порядок не важен → сочетания. Общее число исходов: C(9,3) = 9!/(6!·3!) = 84 (n = 84 для обоих событий).
Полезное свойство: C(n,1) = n.
📐 Разбор формулы:
- C(n,1) — число сочетаний из n элементов по одному;
- n — число элементов, из которых выбираем;
- = n — результат равен самому n.
Как работает: один элемент из n можно выбрать ровно n способами — по варианту на каждый. Это частный случай формулы сочетаний при m = 1.
Вывод по примерам: задачи специально подобраны под разные комбинаторные формулы (перестановки, размещения, сочетания, прямой перебор). Главное — определить, какой инструмент комбинаторики нужен: при выборе элементов с важным порядком — размещение, без важности порядка — сочетание.
На следующем занятии — статистическая и геометрическая вероятность, затем переход к новой теме. Лекции дают теорию, отработка задач (в т. ч. к микроконтролю) — на семинарах и в тренировочных тестах траектории.
Загружаю транскрипт…