О чём вообще речь

Мы рассматриваем ситуацию, которая встречается постоянно: одно и то же испытание повторяется много раз, причём условия в каждом испытании одинаковы. Любимый пример — бросок монеты: бросили её, скажем, тысячу раз, и в каждом броске вероятность выпадения «герба» одна и та же.

Испытания называются независимыми, если наступление события в текущем испытании никак не зависит от того, наступило оно в предыдущих или нет.

Введём обозначения, которые будут встречаться во всех формулах:

• n — общее число испытаний;
• m (или k) — число испытаний, благоприятствующих событию (в которых интересующее нас событие наступило);
• p — вероятность наступления события в одном испытании (она одна и та же в каждом);
• q = 1 − p — вероятность ненаступления (вероятность противоположного события).

🗣 Преподаватель сказал: «Мы с вами делаем обзор формул и теорем, которые позволят определять необходимые вещи». То есть лекция — это «карта» инструментов: какая формула под какой вопрос.

1. Формула Бернулли

Это основная, точная формула. Она отвечает на вопрос: какова вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит ровно m раз?

$$P_n(m) = C_n^m \cdot p^m \cdot q^{,n-m}$$

📐 Разбор формулы:

• Pₙ(m) — вероятность того, что событие наступит ровно m раз в n испытаниях;
• n — общее число независимых испытаний;
• m — число успехов (наступлений события);
• Cₙᵐ — число сочетаний из n по m (сколькими способами выбрать m успешных испытаний);
• p — вероятность наступления события в одном испытании;
• pᵐ — вероятность, что событие наступило в m конкретных испытаниях;
• q = 1 − p — вероятность ненаступления;
• qⁿ⁻ᵐ — вероятность, что в остальных n − m испытаниях события не было.

Как работает: один конкретный сценарий «m успехов и n − m неудач» имеет вероятность pᵐ·qⁿ⁻ᵐ. Но успехи могут выпасть в разных испытаниях, и таких раскладов Cₙᵐ. Сумма всех равновероятных раскладов даёт умножение на сочетания. Проверка: сумма степеней m + (n − m) = n.

Здесь C(n,m) — число сочетаний из n по m.

💡 Понятнее: откуда берётся каждый множитель. Если событие наступило m раз и не наступило n − m раз, то вероятности этих исходов перемножаются: p^m · q^(n−m). Но событие может наступить в разных комбинациях испытаний (например, при 3 испытаниях и 2 успехах: в 1-м и 2-м, или в 1-м и 3-м, или во 2-м и 3-м). Чтобы учесть все варианты, домножаем на число сочетаний C(n,m).

⚠️ Уточнение: сумма показателей степеней при p и q всегда должна быть равна n. Это удобная проверка: если у вас p^2 · q^4 при n = 6 — всё верно, 2 + 4 = 6.

Полезные приёмы с формулой Бернулли

Часто спрашивают не «ровно m», а «от a до b» или «хотя бы один».

• «От 2 до 4» = P(2) + P(3) + P(4) (сложить вероятности для каждого нужного числа).
• «Хотя бы один» — это «1, или 2, … или все n», то есть m ≥ 1. Перебирать долго, поэтому считают через противоположное событие: 1 − P(0), где P(0) — вероятность, что не наступит ни разу.

⚠️ Уточнение: «хотя бы один» — это НЕ «один минус предыдущее число». Самое главное — это «не ноль». Поэтому удобнее всего вычесть из единицы вероятность нуля наступлений.

2. Наивероятнейшее число k0

Иногда нас интересует не «ровно столько-то», а самое вероятное число наступлений события — то, у которого вероятность наибольшая. Из формулы Бернулли выводится двойное неравенство:

$$np - q \le k_0 \le np + p$$

📐 Разбор формулы:

• k₀ — наивероятнейшее число наступлений события (с наибольшей вероятностью);
• n — число испытаний;
• p — вероятность успеха в одном испытании;
• q = 1 − p — вероятность неудачи;
• np − q и np + p — нижняя и верхняя границы промежутка для k₀.

Как работает: среди всех вероятностей Бернулли есть максимальная — она приходится на число успехов k₀. Двойное неравенство задаёт промежуток, в который оно попадает. Длина промежутка равна p + q = 1, поэтому внутри обычно ровно одно целое число (иногда два — тогда оба наивероятнейшие). Из границ берут именно целое: число успехов дробным быть не может.

Находим границы, и k0 — это целое (натуральное) число, попавшее в промежуток.

💡 Понятнее: длина промежутка [np−q, np+p] равна p + q = 1, поэтому в него обычно попадает одно целое число (иногда два — тогда оба наивероятнейшие). Число изделий или людей дробным быть не может, поэтому из границ выбираем именно целое.

3. Номер первого успешного испытания

Это тоже схема Бернулли (те же независимые повторные испытания). Вопрос: какова вероятность того, что первый успех случится именно в испытании с номером k (обозначим его τ)?

$$P(\tau = k) = p \cdot q^{,k-1}$$

📐 Разбор формулы:

• τ («тау») — номер испытания, в котором случился первый успех;
• k — конкретный номер, для которого считаем вероятность;
• P(τ = k) — вероятность того, что первый успех придётся ровно на k-е испытание;
• p — вероятность успеха в одном испытании;
• q = 1 − p — вероятность неудачи;
• qᵏ⁻¹ — вероятность k − 1 неудач подряд до первого успеха.

Как работает: чтобы первый успех был именно в k-м испытании, нужно, чтобы в предыдущих k − 1 испытаниях событие не наступило (вероятность qᵏ⁻¹), а в k-м — наступило (вероятность p). Эти независимые исходы перемножают.

💡 Понятнее: если первый успех в k-м испытании, значит в первых k−1 испытаниях событие НЕ наступало (вероятность q^(k−1)), а в k-м — наступило (вероятность p). Перемножаем.

4. Ограниченность формулы Бернулли и приближённые формулы

У формулы Бернулли есть свои плюсы и минусы. Минус: при большом n приходится считать сочетания, а это огромные числа; при этом если p маленькое, итоговые числа получаются очень малыми и считать неудобно.

Поэтому при больших n используют приближённые (асимптотические) формулы — приближение тем точнее, чем больше n (формально при n → ∞). Какую именно формулу брать, подсказывает величина np:

Условие	Формула
np ≤ 10	Формула Пуассона
np > 10	Формулы Муавра-Лапласа (локальная или интегральная)

🗣 Преподаватель сказал: доказательства всех этих теорем подробно разобраны в основном учебнике — «кому интересно, посмотрите». На письменных работах доказательства не спрашивают, спрашивают именно практическое решение задач.

4а. Формула Пуассона (np ≤ 10)

$$P_n(m) \approx \frac{\lambda^m}{m!} \cdot e^{-\lambda}, \qquad \lambda = np$$

📐 Разбор формулы:

• Pₙ(m) — приближённая вероятность ровно m наступлений события;
• λ («лямбда») — среднее число наступлений, равное np;
• n — число испытаний, p — вероятность успеха в одном из них;
• λᵐ — лямбда в степени m;
• m! — факториал числа m в знаменателе;
• e — основание натурального логарифма (e ≈ 2,7);
• e⁻λ — e в степени минус лямбда.

Как работает: формула заменяет громоздкую формулу Бернулли при больших n и малых p, когда np ≤ 10 (редкие события). Вместо подсчёта огромных сочетаний используют только среднее число λ = np. Перед расчётом обязательно проверяют условие np ≤ 10 — оно обосновывает применение формулы Пуассона.

Здесь e ≈ 2{,}7 — известное число, λ («лямбда») — это np.

⚠️ Уточнение: прежде чем что-то считать, сначала найдите np и проверьте, что оно ≤ 10 — именно это обосновывает применение формулы Пуассона.

4б. Локальная формула Муавра-Лапласа (np > 10, «ровно m раз»)

Отвечает на тот же вопрос, что и Бернулли («ровно m»), но приближённо и для больших n:

$$P_n(m) \approx \frac{\varphi(x)}{\sqrt{npq}}, \qquad x = \frac{m - np}{\sqrt{npq}}$$

📐 Разбор формулы:

• Pₙ(m) — приближённая вероятность ровно m наступлений события;
• φ(x) — функция Гаусса (значения берут из таблицы №1);
• x — стандартизованное отклонение (аргумент функции Гаусса);
• m — число успехов, n — число испытаний;
• p — вероятность успеха, q = 1 − p — вероятность неудачи;
• np — среднее число успехов;
• npq — произведение n·p·q, √(npq) — квадратный корень из него (стандартное отклонение).

Как работает: при больших n (когда np > 10) распределение Бернулли близко к нормальной кривой Гаусса. Аргумент x = (m − np)/√(npq) показывает, на сколько «стандартных шагов» m отстоит от среднего np. Затем по таблице находят φ(x) и делят на √(npq) — масштаб разброса.

Здесь φ(x) — функция Гаусса, её значения берут из специальной таблицы (у нас таблица №1).

Свойства функции Гаусса φ(x), которые нужно знать:

1. Чётная: φ(−x) = φ(x) — знак минус у аргумента просто убирается.
2. Убывающая.
3. При |x| > 5 считаем φ(x) ≈ 0.

4в. Интегральная формула Муавра-Лапласа (np > 10, «от m1 до m2»)

Отличается тем, что нужно найти вероятность, что событие произошло от m1 до m2 раз:

$$P_n(m_1 \le m \le m_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$$

$$x_1 = \frac{m_1 - np}{\sqrt{npq}}, \qquad x_2 = \frac{m_2 - np}{\sqrt{npq}}$$

📐 Разбор формулы:

• Pₙ(m₁ ≤ m ≤ m₂) — вероятность того, что число успехов окажется в диапазоне от m₁ до m₂;
• m₁, m₂ — нижняя и верхняя границы числа успехов;
• Φ(x) — функция Лапласа (значения из таблицы №2);
• x₁, x₂ — стандартизованные границы (аргументы функции Лапласа);
• n — число испытаний, p — вероятность успеха, q = 1 − p — неудачи;
• np — среднее число успехов, √(npq) — стандартное отклонение.

Как работает: функция Лапласа Φ(x) даёт вероятность попасть в интервал от среднего до точки x. Чтобы получить вероятность попадания в диапазон [m₁, m₂], границы переводят в стандартизованные x₁ и x₂ и берут разность Φ(x₂) − Φ(x₁) — «накопленную» вероятность до верхней границы минус до нижней. Применяется при np > 10 для вопроса «от m₁ до m₂ раз».

Здесь Φ(x) (большая «фи») — функция Лапласа, значения берут из таблицы №2.

Свойства функции Лапласа Φ(x):

1. Нечётная: Φ(−x) = −Φ(x) (в отличие от функции Гаусса!).
2. Монотонно возрастающая.
3. При x > 5 считаем Φ(x) ≈ 1.

⚠️ Уточнение: функция Лапласа — нечётная, и из единицы её НЕ вычитают «как чётную». Если аргумент отрицательный, выносим знак минус: Φ(−x) = −Φ(x). Минус на минус даёт плюс — поэтому при −Φ(x2) − (−Φ(x1)) знаки аккуратно раскрываются.

⚠️ Уточнение: пользоваться нужно именно теми таблицами, что даёт преподаватель — в разных учебниках значения могут немного отличаться. Если берёте формулы преподавателя, берите и его таблицы.

Организационное

🗣 Преподаватель сказал: на микроконтроле и контрольных работах можно пользоваться калькулятором (именно калькулятором, не телефоном). Число e есть во многих калькуляторах.

Лекция 5. Повторные независимые испытания

Вводная часть

Завершён большой блок «основные темы». Начинается новая тема — независимые повторные испытания. Сегодняшнее занятие — обзор пяти вопросов: формул и теорем, которые из них вытекают и которые применяются к этой ситуации.

Организационное (в начале и в конце):

• На следующей неделе — первое тестирование на семинаре (микроконтроль).
• Выставлена демоверсия теста. Демоверсия не значит, что будет точно такой же тест: это ориентир по темам.
• Микроконтроль — 10 заданий (как и по математическому анализу/алгебре). По программе заложено 20 минут, но дадут 30 минут (студентам очного обучения — 20). Тест будет решаться на семинаре в понедельник.
• На микроконтроле будет всё, что разобрано до сегодняшней лекции — это раздел «вероятность случайных событий». Дальше начнутся «вероятности случайных величин».
• Калькулятором пользоваться разрешено (именно калькулятором, не телефоном).
• Следующая встреча — во вторник.

Основные обозначения

• n — количество испытаний (общее обозначение).
• m — количество испытаний, благоприятствующих событию (в которых интересующее событие наступило).
• p — вероятность наступления события в одном испытании (одна и та же в каждом испытании).
• q = 1 − p — вероятность ненаступления (противоположного события).

Независимые испытания — наступление события в текущем испытании не зависит от того, наступило оно в предыдущих или нет. Классический пример — многократный бросок монеты (например, тысяча бросков), где в каждом броске условия одни и те же.

---

Вопрос 1. Формула Бернулли

Формулировка теоремы. Пусть проведено n независимых повторных испытаний, и вероятность успеха (наступления события) в каждом одна и та же, равна p. Тогда вероятность того, что в n испытаниях интересующее событие произойдёт ровно m раз:

P_n(m) = C(n,m) · p^m · q^(n−m)

📐 Разбор формулы:

• P_n(m) — вероятность ровно m успехов в n испытаниях;
• n — число независимых испытаний, m — число успехов;
• C(n,m) — число сочетаний из n по m (сколькими способами выбрать m успешных испытаний);
• p — вероятность успеха в одном испытании, pᵐ — вероятность m успехов;
• q = 1 − p — вероятность неудачи, qⁿ⁻ᵐ — вероятность n − m неудач.

Как работает: конкретный сценарий «m успехов и n − m неудач» имеет вероятность pᵐ·qⁿ⁻ᵐ. Успехи могут прийтись на разные испытания — таких раскладов C(n,m). Умножение на сочетания собирает все равновероятные расклады. Проверка: сумма степеней m + (n − m) = n.

Идея вывода (кратко, без доказательства). Событие наступает m раз и не наступает n − m раз одновременно → перемножаем вероятности p^m · q^(n−m). Поскольку наступление может быть в разных комбинациях испытаний (пример: 3 испытания, 2 успеха — комбинации (1,2), (1,3), (2,3)), домножаем на число сочетаний C(n,m). Полный вывод — в основном учебнике; на письменных работах вывод не спрашивают.

Пример 1 (с разбором, буквы А и Б)

«Каждый пятый абитуриент подаёт документы на направление Business Informatics. В приёмной комиссии ожидают своей очереди 6 человек.»

Дано:

• n = 6 (шесть человек ожидают).
• «каждый пятый» → p = 0,2 (один из пяти подаёт).
• q = 1 − 0,2 = 0,8.

А) Вероятность, что документы подадут от 2 до 4 человек.

«От 2 до 4» означает: 2, ИЛИ 3, ИЛИ 4 человека → складываем три вероятности:

P(А) = C(6,2)·0,2²·0,8⁴ + C(6,3)·0,2³·0,8³ + C(6,4)·0,2⁴·0,8²

Сочетания: C(6,2) = 6!/(2!·4!), C(6,3) = 6!/(3!·3!), C(6,4) = 6!/(4!·2!).

Проверка показателей степеней: 2+4 = 3+3 = 4+2 = 6 = n. Верно.

Численный результат ≈ 0,283 (считается на калькуляторе).

Б) Вероятность, что подаст хотя бы один.

Разбор вопроса в чате: «хотя бы один» НЕ равно «1 − предыдущее». «Хотя бы один» = 1, или 2, …, или 6, то есть m ≥ 1. Самое главное — это «не ноль». Поэтому считаем через противоположное событие:

P(Б) = 1 − P(0) = 1 − C(6,0)·0,2⁰·0,8⁶ = 1 − 0,8⁶

Численный результат ≈ 0,73.

---

Вопрос 2. Наивероятнейшее число k0

Определение. Наивероятнейшее число k0 — количество испытаний, в которых событие наступает с наибольшей вероятностью (не меньшей вероятности любого другого количества).

Из формулы Бернулли выводится двойное неравенство:

np − q ≤ k0 ≤ np + p

📐 Разбор формулы:

• k0 — наивероятнейшее число успехов (с наибольшей вероятностью);
• n — число испытаний, p — вероятность успеха, q = 1 − p — неудачи;
• np − q, np + p — нижняя и верхняя границы промежутка для k0.

Как работает: двойное неравенство задаёт промежуток, в который попадает число успехов с максимальной вероятностью. Его длина равна p + q = 1, поэтому внутри обычно одно целое число (иногда два). Из границ берут именно целое — число успехов не бывает дробным.

Из него находят k0 — это целое (натуральное) число, попавшее в промежуток. Промежуток имеет длину 1 (p + q), поэтому обычно попадает одно целое; иногда два.

Пример 2 (с разбором)

«Определить наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 200 изделий, если вероятность брака на заводе 5%.»

Дано:

• n = 200 (испытания — проверка каждого изделия на качество).
• вероятность брака = 5% = 0,05 → это q (вероятность противоположного, бракованного).
• p = 1 − 0,05 = 0,95 (вероятность качественного изделия) — следует из теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу.

Подставляем в неравенство:

• Левая граница: np − q = 200·0,95 − 0,05 = 190 − 0,05 = 189,95.
• Правая граница: np + p = 200·0,95 + 0,95 = 190 + 0,95 = 190,95.

Итог: 189,95 ≤ k0 ≤ 190,95. Между этими значениями лежит единственное натуральное (целое) число: k0 = 190.

Замечание: число изделий не может быть дробным или отрицательным, поэтому из границ выбираем целое.

---

Вопрос 3. Номер первого успешного испытания

Тоже схема Бернулли (независимые повторные испытания). Номер первого успешного испытания обозначаем греческой буквой τ (тау) — это номер первого испытания, в котором событие наступило.

Формула:

P(τ = k) = p · q^(k−1)

📐 Разбор формулы:

• τ («тау») — номер испытания, в котором случился первый успех;
• k — конкретный номер, для которого считаем вероятность;
• P(τ = k) — вероятность того, что первый успех придётся на k-е испытание;
• p — вероятность успеха, q = 1 − p — неудачи;
• qᵏ⁻¹ — вероятность k − 1 неудач подряд до первого успеха.

Как работает: первый успех в k-м испытании означает k − 1 неудач до него (вероятность qᵏ⁻¹) и успех на k-м шаге (вероятность p). Независимые исходы перемножают.

Расшифровка: если τ = 3, значит в первых двух испытаниях событие не наступало, а наступило только в третьем.

Пример 3 (с разбором)

«Вероятность промаха стрелком составляет 30%. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Найти вероятность того, что стрелку понадобится произвести три выстрела.»

Дано:

• «до первого попадания», нужно ровно τ = 3 выстрела.
• вероятность промаха = 30% = 0,3 → это q.
• p = 1 − 0,3 = 0,7 (вероятность попадания).

Решение:

P(τ = 3) = p · q^(3−1) = 0,7 · 0,3² = 0,7 · 0,09 = 0,063

Итог: ≈ 0,063 (≈ 6,3%) — вероятность того, что попадание произойдёт именно в третьем выстреле.

---

Об ограниченности формулы Бернулли

У формулы есть плюсы и минусы. Минус: при большом n нужно считать сочетания → получаются огромные числа; а если p маленькое — итоговые числа очень малы. Поэтому при больших n переходят к приближённым (асимптотическим) формулам. Приближение тем точнее, чем больше n (при n → ∞). Доказательства этих формул — в учебнике.

Какую формулу выбирать, определяет величина np:

• np ≤ 10 → формула Пуассона;
• np > 10 → формулы Муавра-Лапласа (локальная или интегральная).

---

Вопрос 4. Формула Пуассона (np ≤ 10)

P_n(m) ≈ (λ^m / m!) · e^(−λ), где λ = np, e ≈ 2,7.

📐 Разбор формулы:

• P_n(m) — приближённая вероятность ровно m наступлений события;
• λ («лямбда») — среднее число наступлений, равное np;
• n — число испытаний, p — вероятность успеха;
• λᵐ — лямбда в степени m, m! — факториал m;
• e — основание натурального логарифма (e ≈ 2,7), e⁻λ — e в степени минус лямбда.

Как работает: при больших n и малых p (редкие события, np ≤ 10) формула Бернулли с громоздкими сочетаниями заменяется на простую формулу, где нужно лишь среднее λ = np. Условие np ≤ 10 проверяют заранее — оно обосновывает применение Пуассона.

λ («лямбда») — греческая буква, равна np.

Рекомендация применять: когда np ≤ 10.

Пример 4 (с разбором)

«В страховой компании застраховано 100 человек. Вероятность наступления страхового случая у каждого оценивается в 2%.»

Дано:

• n = 100.
• p = 2% = 0,02; q = 0,98.
• Сначала проверяем условие: np = 100·0,02 = 2. Это ≤ 10 → применяем Пуассона. Значит λ = 2.

(а) Вероятность, что обратятся ровно 3 человека (m = 3):

P(3) ≈ (2³ / 3!) · e^(−2) = (8 / 6) · e^(−2)

2³ = 8, 3! = 6, 8/6 = 4/3, e^(−2) ≈ 1/2,7² ≈ 0,135.

Результат ≈ 0,1804 (≈ с округлением до 4-го знака 0,1804).

По ходу преподаватель исправлял оговорки: сначала ошибочно взяла 2! и показатель «−2» неверно, затем поправила: 3! = 6 (три-факториал = 6), показатель степени e равен −λ = −2.

(б) Вероятность, что обратятся хотя бы два человека (m ≥ 2):

Через противоположное событие (чтобы не перебирать 2,3,…,100):

P(m ≥ 2) = 1 − [P(0) + P(1)]

P(0) = (λ⁰/0!)·e^(−λ) = e^(−2) (т.к. λ⁰ = 1, 0! = 1). P(1) = (λ¹/1!)·e^(−λ) = 2·e^(−2).

P(m ≥ 2) = 1 − e^(−2)·(1 + 2) = 1 − 3·e^(−2)

Результат ≈ 0,594.

e^(−2) ≈ 0,1353 (= 1/e²). Можно вынести e^(−2) за скобку.

---

Вопрос 5. Формулы Муавра-Лапласа (np > 10)

Две формулы: локальная и интегральная. Применяются, когда формулу Пуассона применить нельзя, то есть np > 10.

5.I. Локальная формула Муавра-Лапласа

(Полное название — локальная теорема/формула Муавра-Лапласа.) Вопрос — как у Бернулли: событие наступило ровно m раз, но n большое.

P_n(m) ≈ φ(x) / √(npq), где x = (m − np) / √(npq).

📐 Разбор формулы:

• P_n(m) — приближённая вероятность ровно m наступлений события;
• φ(x) — функция Гаусса (значения из таблицы №1);
• x — стандартизованное отклонение (аргумент функции Гаусса);
• m — число успехов, n — испытаний, p — вероятность успеха, q = 1 − p — неудачи;
• np — среднее число успехов, npq — произведение n·p·q, √(npq) — стандартное отклонение.

Как работает: при больших n (np > 10) распределение Бернулли близко к колоколу Гаусса. Аргумент x = (m − np)/√(npq) измеряет, на сколько «стандартных шагов» m отстоит от среднего np. По таблице находят φ(x) и делят на √(npq) — масштаб разброса.

φ(x) — функция Гаусса, берётся из таблицы №1 (выдаёт преподаватель).

Свойства функции Гаусса φ(x):

1. Чётная: φ(−x) = φ(x) (знак минуса убирается).
2. Убывающая.
3. При |x| > 5 считается φ(x) ≈ 0.

Важно: пользоваться нужно именно таблицами преподавателя — в разных учебниках значения могут отличаться.

Пример 5 (буквы А и Б, с разбором)

«При социологических опросах граждан каждый опрошенный независимо от других даёт неискренний ответ с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что из 500 опросов неискренних ответов будет лишь 90.»

Дано:

• n = 500.
• p = 0,2 (неискренний ответ); q = 1 − 0,2 = 0,8.
• m = 90.
• Проверка: np = 500·0,2 = 100. Это > 10 → применяем локальную формулу Муавра-Лапласа.
• npq = 100·0,8 = 80, √80 ≈ 8,9 (≈ 8,9443).

Аргумент: x = (90 − 100)/√80 = −10/8,9 ≈ −1,12.

По чётности: φ(−1,12) = φ(1,12). Из таблицы №1: φ(1,12) ≈ 0,2131.

P_500(90) ≈ 0,2131 / 8,9443 ≈ 0,0238

Итог ≈ 0,0238 (с округлением до 4-го знака ≈ 0,0238).

5.II. Интегральная формула Муавра-Лапласа

Отличие от локальной: нужно найти вероятность, что событие произошло от m1 до m2 раз.

P_n(m1 ≤ m ≤ m2) ≈ Φ(x2) − Φ(x1)

где x1 = (m1 − np)/√(npq), x2 = (m2 − np)/√(npq).

📐 Разбор формулы:

• P_n(m1 ≤ m ≤ m2) — вероятность, что число успехов попадёт в диапазон от m1 до m2;
• m1, m2 — нижняя и верхняя границы числа успехов;
• Φ(x) — функция Лапласа (значения из таблицы №2);
• x1, x2 — стандартизованные границы (аргументы функции Лапласа);
• n — испытаний, p — вероятность успеха, q = 1 − p — неудачи;
• np — среднее, √(npq) — стандартное отклонение.

Как работает: функция Лапласа Φ(x) даёт вероятность попадания от среднего до точки x. Чтобы получить вероятность диапазона [m1, m2], границы переводят в x1, x2 и берут разность Φ(x2) − Φ(x1) — накопленную вероятность до верхней границы минус до нижней. Применяется при np > 10 для вопроса «от … до …».

Φ(x) (большая «фи») — функция Лапласа (первообразная функции Гаусса), берётся из таблицы №2.

Свойства функции Лапласа Φ(x):

1. Нечётная: Φ(−x) = −Φ(x) (в отличие от чётной функции Гаусса!).
2. Монотонно возрастающая.
3. При x > 5 значение Φ(x) ≈ 1.

Таблица функции Лапласа начинается со значения 0,5. Предупреждение: с функцией Лапласа особенно важно пользоваться таблицами преподавателя.

Пример 6 (продолжение примера 5, буквы А и Б)

Те же условия (опросы, n = 500, p = 0,2, q = 0,8, √80).

А) Вероятность, что неискренних ответов будет от 90 до 115.

Аргументы:

• x1 = (90 − 100)/√80 = −10/8,9 ≈ −1,12 (уже считали).
• x2 = (115 − 100)/√80 = 15/8,9 ≈ 1,68.

Значения функции Лапласа:

• Φ(1,68) ≈ 0,4535.
• Φ(−1,12) = −Φ(1,12) = −0,3686 (из таблицы Φ(1,12) ≈ 0,3686).

P(90 ≤ m ≤ 115) ≈ Φ(1,68) − Φ(−1,12) = 0,4535 − (−0,3686) = 0,4535 + 0,3686

Итог ≈ 0,8221.

Раскрытие скобок: Φ(x2) − Φ(x1), где Φ(x1) отрицательна; минус на минус даёт плюс.

Б) Вероятность, что неискренних ответов будет не менее 95 (m ≥ 95).

Диапазон: от 95 до 500 (от m1 = 95 до m2 = 500).

Аргументы:

• x1 = (95 − 100)/√80 = −5/8,9 ≈ −0,56.
• x2 = (500 − 100)/√80 = 400/8,9 ≈ 44,72.

Значения функции Лапласа:

• x2 = 44,72 > 5 → Φ(x2) ≈ 1 (свойство 3).
• Φ(−0,56) = −Φ(0,56) ≈ −0,2123 (из таблицы Φ(0,56) ≈ 0,2123, аргумент 0,5 и далее).

P(m ≥ 95) ≈ Φ(44,72) − Φ(−0,56) = 1 − (−0,2123) = 1 + 0,2123

Здесь раскрытие скобок: минус на минус даёт плюс. Итоговое значение функции в аргументе 0,56 берётся как 0,2123 (из таблицы: 0,5 и далее 6).

Итог ≈ 0,7123 (≈ 0,7123).

---

Итоговая сводка занятия

Для задач о повторных независимых испытаниях:

• Точная формула — Бернулли. Из неё выводятся: наивероятнейшее число наступления события и номер первого успешного испытания.
• Асимптотические (приближённые) формулы, используемые с таблицами:
  • Пуассона — при np ≤ 10;
  • Муавра-Лапласа — при np > 10: локальная (при конкретном значении m, «ровно m») и интегральная (когда нужна вероятность попадания в промежуток «от … до …»).

Чёткая рекомендация: проверь np. Если np ≤ 10 — считай по Пуассону (когда формулу Бернулли применять тяжело из-за её ограниченности при больших n). Если np > 10 — применяй Муавра-Лапласа, и в зависимости от условия (ровно/в промежутке) выбирай локальную либо интегральную формулу.

Замечание преподавателя: студенты обычно говорят, что по этим формулам считать проще, чем классическую вероятность; это во многом так благодаря чётким рекомендациям по выбору формулы.

Что на микроконтроле: всё, что разобрано до этой лекции (раздел «вероятность случайных событий»). Дальше начнётся раздел «случайные величины».