Входим через Telegram…
Конспект и транскрипт одним файлом
Загрузите его в ChatGPT, Claude или NotebookLM и спрашивайте по занятию: что говорили про задания и сроки, объясни непонятную тему, составь вопросы для повторения.
На прошлых занятиях разобрали две из трёх основных теорем теории вероятностей: теорему сложения вероятностей. На этой лекции — теорема умножения, а затем два её важных следствия-инструмента: формула полной вероятности и формула Байеса. Но прежде чем умножать вероятности, нужно ввести два понятия: зависимые и независимые события и условную вероятность.
Два события A и B называют независимыми, если вероятность одного не зависит от того, произошло другое или нет. Пример: при бросании кубика выпадение двойки, тройки и т. д. — события независимые в совокупности: вероятность выпадения определённого числа очков не меняется от того, что выпадало раньше.
💡 Понятнее: «независимые в совокупности» означает не просто попарную независимость, а то, что вероятность каждого события не меняется ни при каком сочетании наступлений остальных.
События зависимы, если вероятность появления одного зависит от того, произошло другое или нет.
Условная вероятность P(A|B) — это вероятность события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло. Отсюда и название «условная»: считаем при условии, что B наступило.
Классический пример — урна с шарами. Пусть в ящике 3 белых и 5 чёрных шаров (всего 8). Шары неразличимы на ощупь; достаём шар наугад и обратно не возвращаем. Интересует вероятность того, что вторым будет извлечён шар того или иного цвета — а она существенно зависит от того, какой шар вынули первым.
Видно: одно и то же «вторым появится чёрный» имеет разную вероятность (5/7 или 4/7) в зависимости от первого исхода — это и есть суть условной вероятности и зависимости.
🗣 Преподаватель сказал: «Представьте, что вы не видите цвета шариков… запускаете руку в ящик случайным образом и достаёте один шар, при этом не возвращаете его обратно».
Вероятность совместного наступления (произведения) двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
P(A·B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B).
📐 Разбор формулы:
- A, B — два события;
- P(A·B) — вероятность их совместного (одновременного) наступления;
- P(A), P(B) — безусловные вероятности каждого события;
- P(B|A) — условная вероятность B при условии, что A уже произошло;
- P(A|B) — условная вероятность A при условии, что произошло B.
Как работает: чтобы наступили оба события, сначала должно произойти одно (с вероятностью P(A)), а затем второе уже в изменившихся условиях (с вероятностью P(B|A)). Эти вероятности перемножаются. Порядок не важен — можно начинать с любого события, результат тот же.
Порядок можно менять — с какого события начинать, неважно, результат тот же. Для трёх событий:
P(A·B·C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A·B),
📐 Разбор формулы:
- A, B, C — три события;
- P(A·B·C) — вероятность того, что произойдут все три одновременно;
- P(A) — вероятность первого события;
- P(B|A) — вероятность B при условии, что A уже наступило;
- P(C|A·B) — вероятность C при условии, что наступили и A, и B.
Как работает: это расширение теоремы умножения на цепочку из трёх событий. Каждое следующее событие учитывается в предположении, что все предыдущие уже произошли, поэтому вероятности перемножаются последовательно.
то есть вероятность каждого следующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже произошли.
⚠️ Уточнение: «произведение событий» — это термин для их совместного (одновременного) наступления, не путать с числовым произведением. А вот вероятности этих событий уже перемножаются как числа.
Если события независимы, то условная вероятность совпадает с обычной, и формула упрощается:
P(A·B) = P(A)·P(B).
📐 Разбор формулы:
- A, B — независимые события;
- P(A·B) — вероятность их совместного наступления;
- P(A), P(B) — безусловные вероятности каждого.
Как работает: для независимых событий наступление одного не меняет шансов другого, поэтому условная вероятность совпадает с безусловной (P(B|A) = P(B)). Общая формула умножения упрощается до простого произведения P(A)·P(B).
Пример (стрельба из орудий). Вероятность попадания первого орудия P(A) = 0,9, второго P(B) = 0,7; орудия стреляют независимо.
В той же задаче спрашивают: «Цель поражена при одновременном залпе». Для поражения достаточно хотя бы одного попадания — может попасть только первое, только второе или оба. Это уже другое событие, чем «оба попали».
Здесь важно: события «попало первое» и «попало второе» — совместные (могут произойти вместе). Поэтому по теореме сложения для совместных событий:
P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,9 + 0,7 − 0,63 = 0,97.
📐 Разбор формулы:
- A, B — совместные события (оба попадания могут случиться вместе);
- P(A или B) — вероятность того, что попадёт хотя бы одно орудие;
- P(A), P(B) — вероятности попадания каждого орудия;
- P(A·B) — вероятность одновременного попадания обоих.
Как работает: при сложении вероятностей попаданий случай «оба попали» учтётся дважды, поэтому P(A·B) вычитают. Это та же теорема сложения для совместных событий, применённая к залпу двух орудий.
⚠️ Уточнение: вычитается именно вероятность совместного наступления P(A·B), иначе «область пересечения» учли бы дважды. Для несовместных событий этого слагаемого нет.
Ту же задачу удобнее решать от противного. Цель не будет поражена, только если ни первое, ни второе не попали одновременно:
P(хотя бы одно) = 1 − P(не A)·P(не B) = 1 − (1−0,9)(1−0,7) = 1 − 0,1·0,3 = 1 − 0,03 = 0,97.
📐 Разбор формулы:
- P(хотя бы одно) — вероятность того, что попадёт хотя бы одно орудие;
- P(не A), P(не B) — вероятности промаха каждого орудия (противоположные событиям A и B);
- (1−0,9), (1−0,7) — эти промахи численно равны единице минус вероятность попадания;
- 1 — вероятность достоверного события.
Как работает: «хотя бы одно попадание» противоположно событию «оба промахнулись». Промахи независимы, поэтому их вероятности перемножают, а результат вычитают из единицы. Так считать удобнее, чем перебирать все варианты с попаданиями.
Ответ совпал. В общем случае для n независимых событий:
P(наступит хотя бы одно) = 1 − ∏ P(не Aᵢ) (единица минус произведение вероятностей противоположных событий).
📐 Разбор формулы:
- Aᵢ — независимые события (нижний индекс i — их номер, от 1 до n);
- не Aᵢ — противоположные события (соответствующее Aᵢ не наступило);
- P(не Aᵢ) — вероятность того, что i-е событие не произошло;
- ∏ — знак произведения (перемножить по всем i от 1 до n);
- 1 — вероятность достоверного события.
Как работает: «наступит хотя бы одно» противоположно «не наступит ни одно». Так как события независимы, вероятность того, что не наступит ни одно, — это произведение вероятностей всех промахов. Вычитая его из единицы, получаем шанс хотя бы одного успеха. Знак ∏ компактно записывает перемножение многих сомножителей.
Пусть событие A может произойти только при появлении одного из несовместных (попарно несовместных) событий H₁, H₂, …, Hₙ, которые образуют полную группу. Эти события называют гипотезами, а их вероятности — априорными (от лат. a priori — «до опыта»): мы их назначаем рассуждением, до проведения эксперимента.
💡 Понятнее: «полная группа» означает, что одна из гипотез обязательно произойдёт, поэтому сумма их вероятностей равна 1 (это следствие теоремы сложения).
Формула полной вероятности:
P(A) = P(H₁)·P(A|H₁) + P(H₂)·P(A|H₂) + … + P(Hₙ)·P(A|Hₙ).
📐 Разбор формулы:
- A — событие, вероятность которого ищем;
- H₁, H₂, …, Hₙ — гипотезы (попарно несовместные события полной группы, индекс — номер);
- P(Hᵢ) — априорная вероятность гипотезы (до опыта);
- P(A|Hᵢ) — условная вероятность A, если верна гипотеза Hᵢ;
- сумма всех слагаемых даёт полную вероятность A.
Как работает: событие A может наступить по-разному — в рамках каждой гипотезы. Для каждой считают «вклад»: насколько вероятна гипотеза и насколько при ней вероятно A. Эти произведения складывают (гипотезы несовместны), получая полную вероятность A независимо от того, какая гипотеза реализуется.
Пример (продукция трёх производителей). В магазин поступает продукция от трёх производителей: от первого 25 %, от второго 30 %, от третьего 45 % (гипотезы: P(H₁)=0,25, P(H₂)=0,30, P(H₃)=0,45 — в сумме 1). Известно, что брак: у первого 3 %, у второго 2 %, у третьего 1 %.
А — «купленная наугад продукция без брака». Условные вероятности «без брака» при каждой гипотезе: P(A|H₁) = 1−0,03 = 0,97; P(A|H₂) = 1−0,02 = 0,98; P(A|H₃) = 1−0,01 = 0,99.
Тогда P(A) = 0,25·0,97 + 0,30·0,98 + 0,45·0,99 ≈ 0,9882.
🗣 Преподаватель сказал: проценты в формулу подставлять нельзя — сначала переводим их в доли (25 % → 0,25), и вероятности считаем именно по долям, а не по процентам.
Теперь представим, что событие A уже произошло (мы купили продукцию, и она оказалась без брака). Вопрос: какому производителю эта продукция вероятнее всего принадлежит? То есть нужно пересчитать вероятности гипотез при условии, что A наступило, — это уже условные вероятности гипотез, отсюда и «переоценка».
Формула Байеса:
P(Hᵢ|A) = P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ) / P(A),
📐 Разбор формулы:
- Hᵢ — i-я гипотеза, A — наступившее событие;
- P(Hᵢ|A) — апостериорная (переоценённая) вероятность гипотезы при условии, что A произошло;
- P(Hᵢ) — априорная вероятность гипотезы (до опыта);
- P(A|Hᵢ) — вероятность A при этой гипотезе;
- P(A) — полная вероятность A (тот же знаменатель из формулы полной вероятности).
Как работает: формула переоценивает шансы гипотез после того, как событие A уже наблюдалось. В числителе — «вклад» именно гипотезы Hᵢ в наступление A, в знаменателе — суммарный вклад всех гипотез. Их отношение и показывает, насколько вероятно, что причиной A была именно Hᵢ.
где P(A) в знаменателе — та самая полная вероятность.
Пример (продолжение). При A = «продукция без брака»:
Вывод: вероятнее всего качественная продукция принадлежит третьему производителю (у него наибольшая вероятность), а наименее вероятно — первому. Логично: у третьего меньше всего брака.
💡 Понятнее: разница между двумя формулами — в направлении рассуждения. Полная вероятность отвечает «какова вероятность результата A вообще», а Байес — «зная, что A случилось, какая гипотеза была причиной вероятнее всего».
Ключевой навык темы — различать зависимые и независимые события: от этого зависит, применяется ли полная формула умножения (с условной вероятностью) или её упрощённый вариант. Дальше формула полной вероятности и формула Байеса просто собираются из этих кирпичиков.
Основные теоремы теории вероятностей разбиты на три вопроса:
Прежде чем перейти к умножению, вводятся вспомогательные понятия.
Определение: P(A|B) — вероятность события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло.
Шары неразличимы на ощупь, достаём наугад и не возвращаем. Интересует цвет второго шара.
Вывод: вероятность «вторым чёрный» существенно зависит от первого исхода (5/7 против 4/7) — наглядная иллюстрация зависимости и условной вероятности.
Вероятность совместного (одновременного) наступления событий = произведению вероятности одного на условную вероятность другого:
📐 Разбор формулы:
- A, B, C — события;
- P(A·B), P(A·B·C) — вероятности их совместного (одновременного) наступления;
- P(A), P(B) — безусловные вероятности событий;
- P(B|A) — условная вероятность B при условии, что A произошло;
- P(C|A·B) — условная вероятность C при условии, что произошли и A, и B.
Как работает: чтобы наступили все события сразу, каждое следующее берётся в условиях уже наступивших предыдущих, и вероятности перемножаются. Для двух событий порядок не важен — можно начинать с любого. Для трёх и более принцип тот же: каждое условие «накапливает» предыдущие наступления.
Терминологическое уточнение: «произведение событий» = их совместное наступление (а перемножаются именно вероятности).
Если события независимы, условная вероятность совпадает с безусловной: P(A·B) = P(A)·P(B) — для независимых в совокупности событий вероятность совместного наступления = произведению их вероятностей.
📐 Разбор формулы:
- A, B — независимые события;
- P(A·B) — вероятность их одновременного наступления;
- P(A), P(B) — безусловные вероятности каждого.
Как работает: у независимых событий наступление одного не влияет на шансы другого, поэтому P(B|A) = P(B). Общая теорема умножения превращается в простое произведение вероятностей.
Дано: P(A) = 0,9 (попадание первым орудием), P(B) = 0,7 (вторым). Орудия стреляют независимо.
п. а) Цель поражена при одновременном залпе (оба попали).
п. б) Цель поражена при одновременном залпе (достаточно хотя бы одного попадания).
📐 Разбор формулы:
- A, B — совместные события (попадания обоих орудий);
- P(A или B) — вероятность хотя бы одного попадания;
- P(A), P(B) — вероятности попадания каждого орудия;
- P(A·B) — вероятность одновременного попадания обоих.
Как работает: случай «оба попали» при сложении учитывается дважды, поэтому P(A·B) вычитают. Это теорема сложения для совместных событий в применении к залпу.
Разбор связи: п. а) использует независимость (умножение), п. б) — совместность (сложение с вычитанием пересечения).
Продолжение примера с орудиями, решение от противного:
📐 Разбор формулы:
- P(хотя бы одно) — вероятность хотя бы одного попадания;
- P(не A), P(не B) — вероятности промаха каждого орудия;
- (1−0,9), (1−0,7) — промахи как единица минус вероятность попадания;
- 1 — вероятность достоверного события.
Как работает: «хотя бы одно попадание» противоположно «оба промахнулись». Независимые промахи перемножают и вычитают из единицы. Это короче, чем перебирать все варианты попаданий, поэтому результат совпадает с прямым расчётом.
Общая теорема: если события A₁, A₂, …, Aₙ независимы в совокупности, то P(наступит хотя бы одно) = 1 − произведение вероятностей противоположных событий.
Постановка: событие A может произойти лишь при появлении одного из несовместных событий H₁, H₂, …, Hₙ. Эти события:
Их называют гипотезами, а их вероятности — априорными (назначаются рассуждением до опыта).
Формула полной вероятности: P(A) = P(H₁)·P(A|H₁) + P(H₂)·P(A|H₂) + … + P(Hₙ)·P(A|Hₙ).
📐 Разбор формулы:
- A — событие, вероятность которого ищем;
- H₁, …, Hₙ — гипотезы (попарно несовместные события полной группы);
- P(Hᵢ) — априорная вероятность гипотезы (до опыта);
- P(A|Hᵢ) — вероятность A, если верна гипотеза Hᵢ.
Как работает: A может реализоваться внутри любой из гипотез. Для каждой считают её «вклад» — произведение вероятности самой гипотезы на вероятность A при ней. Так как гипотезы несовместны и покрывают все случаи, эти вклады складывают, получая полную вероятность A.
Дано: доли поставок — 25 %, 30 %, 45 % → гипотезы P(H₁)=0,25, P(H₂)=0,30, P(H₃)=0,45 (сумма = 1). Брак: у первого 3 %, у второго 2 %, у третьего 1 %.
A — «купленная наугад продукция без брака». Условные вероятности «без брака»:
P(A) = 0,25·0,97 + 0,30·0,98 + 0,45·0,99 ≈ 0,9882.
Замечания преподавателя:
Идея: событие A уже произошло (продукция куплена и оказалась без брака). Нужно найти, какой гипотезе (производителю) это вероятнее всего соответствует, — то есть пересчитать вероятности гипотез при условии A. Получаем апостериорные (условные) вероятности гипотез.
Формула Байеса: P(Hᵢ|A) = P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ) / P(A), где P(A) — полная вероятность из п. 7.
📐 Разбор формулы:
- Hᵢ — i-я гипотеза, A — наступившее событие;
- P(Hᵢ|A) — апостериорная вероятность гипотезы при условии, что A произошло;
- P(Hᵢ) — априорная вероятность гипотезы (до опыта);
- P(A|Hᵢ) — вероятность A при этой гипотезе;
- P(A) — полная вероятность A (тот же знаменатель из формулы полной вероятности).
Как работает: формула переоценивает шансы гипотез после наблюдения события A. В числителе — вклад именно Hᵢ в наступление A, в знаменателе — суммарный вклад всех гипотез. Отношение показывает, насколько вероятно, что причиной A была гипотеза Hᵢ.
Вывод: наиболее вероятно, что качественная продукция от третьего производителя (наибольшая вероятность), наименее — от первого. Это согласуется с тем, что у третьего меньше всего брака.
Загружаю транскрипт…