Входим через Telegram…
Конспект и транскрипт одним файлом
Загрузите его в ChatGPT, Claude или NotebookLM и спрашивайте по занятию: что говорили про задания и сроки, объясни непонятную тему, составь вопросы для повторения.
Дана выборка из 20 элементов - число аварий на промышленных объектах за 20 суток. Каждое число - количество аварий за день. Главный вопрос: какому закону распределения подчиняется случайная величина X (число аварий). От ответа зависит, какие методики анализа применять.
По условию нужно проверить соответствие пяти законам: для дискретного случая - биномиальному и Пуассона; для непрерывного - равномерному, экспоненциальному и нормальному. На лекции разобрали биномиальный, нормальный и экспоненциальный.
Предварительно по выборке построены два ряда: дискретный (вариационный) ряд частот и интервальный (непрерывный) ряд.
Это общий инструмент: каким бы законом мы ни проверяли согласие, наблюдаемое значение критерия считается по одной формуле.
хи2_набл = сумма (i от 1 до K) (n_i - Np_i)^2 / (Np_i)
Обозначения:
Табличное (критическое) значение берётся как квантиль распределения хи-квадрат уровня (1 - альфа) при числе степеней свободы:
k = K - R - 1
Ключевой момент: R - это только те параметры, которые оценивались по выборке. Если вероятности считались по формуле закона (Бернулли и т.п.), это не добавляет параметров в R.
Гипотезы:
Условие отклонения H0: хи2_набл >= хи2_табл (наблюдаемое не меньше табличного). Если хи2_набл < хи2_табл - нет оснований отклонять H0, распределение принимается.
Преподаватель подчёркивает осторожность формулировок: при малом числе наблюдений (20 - это мало) говорят не "распределено", а "нет достаточных оснований утверждать, что не распределено по данному закону".
H0: число аварий распределено по биномиальному закону (формула Бернулли).
По выборке найдено среднее (выборочное среднее = оценка M(X)). Через него оценена вероятность аварии p и вероятность безаварийной работы q = 1 - p. По формуле Бернулли посчитаны вероятности P(X=0), P(X=1), ..., P(X=6).
Далее интервалы объединяются, и для каждого интервала считается оцениваемая вероятность p_i как сумма вероятностей соответствующих значений:
Частоты интервалов: 6, 5, 5, 4 (сумма = 20).
Наблюдаемое значение критерия: хи2_набл = (6 - 200,302)^2/(200,302) + (5 - 200,234)^2/(200,234) + (5 - 200,344)^2/(200,344) + (4 - 200,12)^2/(200,12) = 1,603.
Степени свободы: оценивали только M(X) => R = 1; K = 4; k = 4 - 1 - 1 = 2. По таблице 4 при альфа = 0,05 квантиль хи-квадрат уровня 0,95 с 2 степенями свободы: хи2_табл = 5,99.
Сравнение: 1,603 < 5,99 => нет оснований отклонять H0. На уровне значимости 5% можно считать, что число аварий распределено по биномиальному закону.
Отличие: вероятности интервалов считаются через функцию стандартного нормального распределения (функцию Лапласа), а не по формуле Бернулли.
Нужны две оценки: выборочное среднее X_ср (уже есть, = 3,45) и среднее квадратическое отклонение сигма. Сигму оцениваем через дисперсию:
S^2 = (средняя квадратов) - (квадрат среднего)
Для средней квадратов строим вариационный ряд (значение : частота : вероятность):
Средняя квадратов = 1^20,15 + 2^20,15 + 3^20,25 + 4^20,25 + 6^20,15 + 7^20,05. Дисперсия S^2 = 2,948; сигма = корень(2,948) = 1,717.
Значения функции распределения на границах интервалов считаются как F(x) = Ф((x - X_ср)/сигма), где Ф - функция Лапласа (таблица 2).
Оцениваемые вероятности интервалов (разность значений функции на концах):
Наблюдаемое значение: хи2_набл = (6 - 200,291)^2/(200,291) + (5 - 200,335)^2/(200,335) + (5 - 200,257)^2/(200,257) + (4 - 200,117)^2/(200,117) = 1,619.
Степени свободы: оценивали M(X) И сигму => R = 2; K = 4; k = 4 - 2 - 1 = 1. По таблице при альфа = 0,05 квантиль хи-квадрат уровня 0,95 с 1 степенью свободы: хи2_табл = 3,84.
Сравнение: 1,619 < 3,84 => нет оснований отклонять H0. Нормальное распределение тоже принимается (одна выборка может согласовываться сразу с несколькими законами).
Функция распределения: F(x) = 0 при x <= 0; F(x) = 1 - e^(-лямбда*x) при x > 0.
Параметр лямбда находим из связи M(X) = 1/лямбда, значит лямбда = 1/X_ср = 1/3,45 = 0,2898... ~ 0,29 (оценивается только M(X) по выборке).
Для удобства e ~ 2,718. Значения функции на границах (F(x) = 1 - 2,718^(-0,29*x)):
Оцениваемые вероятности интервалов:
Наблюдаемое значение: хи2_набл = (6 - 200,516)^2/(200,516) + (5 - 200,17)^2/(200,17) + (5 - 200,111)^2/(200,111) + (4 - 200,203)^2/(200,203) = 6,043.
Степени свободы: оценивали только M(X) => R = 1; K = 4; k = 4 - 1 - 1 = 2. Табличное значение хи2_табл = 5,99 (то же, что для биномиального).
Сравнение: 6,043 > 5,99 => условие отклонения выполнено, H0 ОТКЛОНЯЕТСЯ. На уровне значимости 5% можно утверждать, что число аварий НЕ распределено по экспоненциальному закону.
Один и тот же набор данных может согласовываться с несколькими законами одновременно - это нормально.
В понедельник самостоятельная работа по математической статистике: обработать выборку, построить доверительные интервалы, проверить гипотезу о нормальном распределении. Экзамен 23 июня (вторник) в форме теста с проктерингом (две камеры). На экзамене разрешены статистические таблицы и инженерный калькулятор (считающий корни и степени), телефоном пользоваться нельзя.
Продолжаем задачу о количестве аварий на промышленных объектах. В любой задаче важно знать, какому закону подчиняется распределение величины - от этого зависит выбор методики анализа. Здесь величина X - количество аварий. Дана выборка из 20 элементов (20 суток), каждое число - количество аварий за день.
По условию надо проверить согласие с пятью законами: дискретные - биномиальный и Пуассона; непрерывные - равномерный, экспоненциальный, нормальный. Преподаватель решает не по порядку: завершает биномиальный, затем перепрыгивает на нормальный (потому что именно он будет в самостоятельной), потом - экспоненциальный.
Предварительно уже построены интервальный (непрерывный) ряд и дискретный ряд по известным правилам.
H0: величина X (число аварий) распределена по биномиальному закону (формула Бернулли). Альтернатива H1: не распределена.
По выборке посчитана средняя арифметическая (выборочное среднее) - это оценка математического ожидания. Через неё найдена вероятность аварии и вероятность безаварийной работы. По формуле Бернулли рассчитаны вероятности P(X=0), P(X=1), ..., вплоть до P(X=6).
Оцениваемая вероятность интервала - вероятность попадания величины в этот интервал - складывается из вероятностей значений внутри него.
Первая оцениваемая вероятность (1-й интервал, значения 0, 1, 2): P = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,022 + 0,094 + 0,186 = 0,302.
Второй интервал (только значение 3): p_2 = 0,234.
Третий интервал (значения 4 и 5): p_3 = 0,209 + 0,135 = 0,344.
Четвёртый интервал (X от 6 до +бесконечности) - напрямую посчитать нельзя, идём от противоположного события: p_4 = 1 - P(X<=5) = 1 - (0,302 + 0,234 + 0,344) = 0,12.
Дальше считаем наблюдаемое значение критерия Пирсона. Преподаватель пишет общую формулу: хи2_набл = сумма (i от 1 до K) (n_i - Np_i)^2 / (Np_i), где K - число интервалов, n_i - частота интервала, N - объём выборки, p_i - оцениваемая вероятность интервала.
Частоты интервалов: 6, 5, 5, 4. Подставляем: (6 - 200,302)^2/(200,302) + (5 - 200,234)^2/(200,234) + (5 - 200,344)^2/(200,344) + (4 - 200,12)^2/(200,12) = 1,603.
Чтобы принять или отклонить гипотезу, нужно табличное значение - квантиль хи-квадрат уровня (1 - альфа). Число степеней свободы: k = K - R - 1, где K - число интервалов, R - число параметров, оценённых по выборке. Здесь R = 1 (по выборке оценили только M(X); вероятности считались по формуле Бернулли, это в R не входит). K = 4, значит k = 4 - 1 - 1 = 2.
Альфа = 0,05, уровень квантили 1 - 0,05 = 0,95. По таблице 4 (хи-квадрат) на пересечении уровня 0,95 и 2 степеней свободы: хи2_табл = 5,99.
Условие отклонения H0: хи2_набл >= хи2_табл. Здесь 1,603 < 5,99 - не выполняется. Значит, гипотеза H0 принимается. Преподаватель подчёркивает осторожную формулировку: "нет достаточных оснований утверждать, что число аварий не распределено по биномиальному закону" (наблюдений всего 20 - это немного). Итог: на уровне значимости 5% можно считать, что число аварий распределено по биномиальному закону.
Критерий Колмогорова/общая формула критерия - одна и та же для любого закона. Переходим к нормальному (он будет в самостоятельной). Это непрерывное распределение, в отличие от дискретного биномиального.
Отличие: вероятности интервалов считаем через функцию стандартного нормального распределения (функцию Лапласа), а не по формуле Бернулли. Для этого помимо выборочного среднего нужна оценка среднего квадратического отклонения сигма (S по выборке). Сигму оцениваем через дисперсию: S^2 = (средняя квадратов) - (квадрат среднего).
Среднее уже есть (X_ср = 3,45). Чтобы посчитать среднюю квадратов, строим вариационный ряд (значение : частота : вероятность). Всего 20 наблюдений:
Дисперсия: S^2 = 1^20,15 + 2^20,15 + 3^20,25 + 4^20,25 + 6^20,15 + 7^20,05 = 2,948. Среднее квадратическое отклонение: сигма = корень(2,948) = 1,717 (с округлением по правилам).
Зачем сигма: функция стандартного распределения считается по параметрам X_ср и сигма. Для непрерывной величины функцию распределения считаем по порядку, начиная с минус бесконечности.
F(x) = Ф((x - X_ср)/сигма):
Теперь оцениваемые вероятности интервалов - разность значений функции на концах интервала (берём по интервальному ряду):
Наблюдаемое значение критерия (та же формула): (6 - 200,291)^2/(200,291) + (5 - 200,335)^2/(200,335) + (5 - 200,257)^2/(200,257) + (4 - 200,117)^2/(200,117) = 1,619. (Преподаватель по ходу поправляет себя: во втором интервале вероятность 0,335, а не 0,291.)
Табличное значение здесь ДРУГОЕ. Уровень тот же (квантиль 0,95, альфа = 5%), но число оцениваемых по выборке параметров теперь R = 2: и математическое ожидание, и дисперсия (сигма) считались по выборке. K = 4, значит k = 4 - 2 - 1 = 1.
По таблице хи-квадрат при 1 степени свободы и уровне 0,95: хи2_табл = 3,84.
Сравнение: 1,619 < 3,84 - условие отклонения не выполнено. Значит, нет оснований отклонить H0. Преподаватель отмечает: и биномиальное, и нормальное распределение в принципе могут быть использованы - так тоже бывает.
Осталось полчаса, возвращаемся к задаче. Берём экспоненциальное распределение (третий разобранный закон). Функция распределения: F(x) = 0 при x <= 0; F(x) = 1 - e^(-лямбда*x) при x > 0.
Нужно найти параметр лямбда. Для экспоненциального распределения M(X) = 1/лямбда, отсюда лямбда = 1/M(X). Оцениваем через выборочное среднее: лямбда = 1/X_ср = 1/3,45 = 0,2898... - иррациональное число, округляем до 0,29.
Для удобства вместо e берём приближение e ~ 2,718 (можно 2,72). Функция: F(x) = 1 - 2,718^(-0,29*x) при x > 0.
Интервальный ряд тот же. Считаем значения функции на границах:
Оцениваемые вероятности интервалов:
Наблюдаемое значение критерия: (6 - 200,516)^2/(200,516) + (5 - 200,17)^2/(200,17) + (5 - 200,111)^2/(200,111) + (4 - 200,203)^2/(200,203) = 6,043.
Табличное значение: по выборке оценивали только M(X) (один параметр), поэтому R = 1, K = 4, k = 4 - 1 - 1 = 2. Значение то же, что для биномиального: хи2_табл = 5,99.
Сравнение: 6,043 > 5,99 - наблюдаемое превосходит табличное, условие отклонения выполнено. Гипотезу H0 ОТКЛОНЯЕМ (принимаем H1). На уровне значимости 5% можно утверждать, что число аварий НЕ распределено по экспоненциальному закону.
Вот так одни и те же данные согласуются с одними законами и не согласуются с другими.
Загружаю транскрипт…