Лекция 10 — Экспоненциальное и нормальное распределения. Неравенство Маркова

С чего стартуем

К этому моменту уже разобраны непрерывные случайные величины в целом, связь плотности и функции распределения, а из конкретных законов — равномерное распределение. Сегодня закрываем два оставшихся «основных» закона для непрерывных величин (экспоненциальное и нормальное) и делаем первый шаг в новую большую тему — закон больших чисел.

Ключевая идея, которая повторяется весь курс: непрерывная случайная величина задаётся плотностью вероятности f(x) (её ещё называют функцией плотности распределения вероятности). А интегральная функция распределения F(x) связана с плотностью так: производная от F(x) даёт f(x), а обратно — F(x) получается интегрированием f(x) от −∞ до x. Эту связку мы и будем эксплуатировать.

💡 Понятнее: плотность f(x) — это «насколько густо» вероятность сидит около точки x; F(x) — это «сколько вероятности уже накопилось левее x». F всегда растёт от 0 до 1, а площадь под всей кривой плотности равна 1.

Экспоненциальное (показательное) распределение

Пишем коротко: X ~ Exp(λ). Один параметр λ полностью задаёт распределение (как для равномерного его задавали границы a и b).

Плотность состоит из двух кусков:

• f(x) = 0 при x < 0;
• f(x) = λ·e^(−λx) при x ≥ 0.

📐 Разбор формулы:

• f(x) — плотность экспоненциального распределения;
• λ («лямбда») — единственный параметр (интенсивность событий);
• e — основание натурального логарифма (≈ 2,7);
• e^(−λx) — экспонента, убывающая с ростом x;
• x ≥ 0 — величина не бывает отрицательной (обычно это время).

Как работает: плотность наибольшая в нуле (равна λ) и быстро убывает — чем больше времени прошло, тем менее вероятно, что событие случится именно тогда. Множитель λ перед экспонентой обеспечивает, что площадь под графиком равна 1.

То есть значащая часть — это лямбда, умноженная на экспоненту в степени минус лямбда икс. Отрицательных значений у такой величины нет (часто это время — а время не бывает отрицательным).

Как получить F(x) из f(x). Здесь и нужны интегралы, причём «кусочками»:

• при x < 0 интегрируем нулевую плотность → F(x) = 0;
• при x ≥ 0 интеграл от 0 до x от λ·e^(−λt) dt.

🗣 Преподаватель сказал: внутри интеграла переменную лучше обозначать другой буквой (t), потому что в верхнем пределе уже стоит x и на выходе должна получиться функция от x — иначе «масло масляное».

Выносим λ за интеграл, экспонента при интегрировании не меняется, но из-за множителя (−λ) перед x делим на (−λ). Лямбда сокращается, остаётся минус. Подставляем пределы: e^0 = 1, и после смены знака получаем результат:

F(x) = 0 при x ≤ 0 и F(x) = 1 − e^(−λx) при x > 0.

📐 Разбор формулы:

• F(x) — функция распределения экспоненциальной величины;
• λ — параметр распределения; e^(−λx) — убывающая экспонента;
• 1 − e^(−λx) — накопленная вероятность к моменту x.

Как работает: F(x) получается интегрированием плотности от 0 до x. С ростом x экспонента e^(−λx) стремится к нулю, поэтому F(x) растёт от 0 к 1. По смыслу это вероятность того, что событие наступит не позже момента x.

Проверка обратной связи: производная от F(x) снова даёт f(x) — так и должно быть.

Графики и интерпретация. Плотность наибольшее значение имеет в нуле и дальше убывает — поэтому мода (наиболее вероятное значение) у экспоненциального распределения равна 0. Интегральная функция F(x) возрастающая и асимптотически приближается к 1 (на бесконечности стремится к единице).

Числовые характеристики (берём в готовом виде, без вывода через интегралы):

• математическое ожидание M(X) = 1/λ;
• дисперсия D(X) = 1/λ²;
• среднеквадратическое отклонение σ = √D = 1/λ.

📐 Разбор формул:

• λ — параметр (интенсивность); M(X) — среднее, D(X) — дисперсия, σ — отклонение;
• M(X) = 1/λ — среднее время до события;
• D(X) = 1/λ² — дисперсия; σ = 1/λ — корень из дисперсии.

Как работает: чем выше интенсивность λ (события происходят чаще), тем меньше среднее время ожидания 1/λ. Характерная примета закона: матожидание и σ совпадают (оба 1/λ) — это удобный признак правильности расчёта.

➕ Преподаватель не упомянул: характерная особенность именно экспоненциального закона — мат. ожидание и σ совпадают (оба равны 1/λ). Это удобный «маркер» правильности расчёта.

Где применяется: процессы ожидания в очереди, время обслуживания клиентов, длительность телефонного разговора — то есть «время до события», которое с течением времени как будто убывает по вероятности.

Нормальное распределение

Считается самым распространённым: его используют, когда на результат влияет очень большое число разнообразных факторов, и выделить какой-то один нельзя.

Обозначение: X ~ N(a, σ²). Параметров два — a и σ². И именно они однозначно определяют распределение, потому что M(X) = a (мат. ожидание), а D(X) = σ² (дисперсия).

Плотность довольно громоздкая:

f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−(x−a)² / (2σ²)).

📐 Разбор формулы:

• f(x) — плотность нормального распределения;
• a — параметр сдвига, равный математическому ожиданию M(X);
• σ — среднеквадратичное отклонение (σ² — дисперсия);
• π — число пи (≈ 3,14); √(2π) — нормирующий множитель;
• (x−a)² — квадрат отклонения значения от центра a;
• e^(−(x−a)²/(2σ²)) — экспонента, задающая «колокол».

Как работает: коэффициент 1/(σ√(2π)) подобран так, чтобы площадь под кривой равнялась 1. Экспонента максимальна при x = a (показатель ноль) и быстро спадает по мере удаления от центра — отсюда симметричный колокол. Параметр σ задаёт ширину: больше σ — кривая шире и ниже.

Словами: коэффициент один делить на сигму на корень из двух пи, а в показателе экспоненты — минус квадрат отклонения (x−a)², делённый на два сигма-квадрат. Интегральная функция F(x) имеет тот же коэффициент (ведь её производная — это f(x)), под интегралом стоит та же экспонента с переменной t.

⚠️ Уточнение: этот интеграл «неберущийся» — известными методами он не вычисляется в явном виде. Поэтому с нормальным распределением на практике работают через таблицы (функции Лапласа), а не считают интеграл руками.

График — кривая Гаусса. Функция симметрична относительно a (математического ожидания). Отсюда правило «плюс-минус сигма»: основная масса значений лежит в интервале a ± σ. Максимум плотности (именно максимум, а не просто наибольшее значение) равен 1/(σ√(2π)).

Как параметры меняют картинку:

• a сам вид кривой не меняет — только сдвигает её влево-вправо;
• σ сидит в формуле максимума: при росте σ максимум падает, кривая становится более пологой и «прижимается» к оси; при уменьшении σ кривая становится островершинной и вытягивается вверх.

Площадь под кривой плотности всегда равна 1 (общее правило). Для нормального распределения коэффициент асимметрии и эксцесс равны нулю — именно нормальное берут за эталон, с которым потом сравнивают «скошенность» (асимметрия) и «остроту/плоскость» (эксцесс) других распределений.

💡 Понятнее: когда говорят «отклонение от нормального распределения», сравнивают именно с этой колоколообразной кривой Гаусса.

Стандартное нормальное распределение

Это частный случай N(0, 1): a = 0 и σ² = 1. Тогда формулы упрощаются:

• плотность f(x) = (1/√(2π)) · e^(−x²/2);
• интегральная функция выражается через функцию Лапласа Φ с аргументом x.

📐 Разбор формулы:

• f(x) — плотность стандартного нормального распределения;
• x — стандартизованное значение (a = 0, σ = 1);
• π — число пи; √(2π) — нормирующий множитель;
• e^(−x²/2) — экспонента «колокола» с центром в нуле.

Как работает: это нормальное распределение при a = 0 и σ = 1 — все слагаемые с a и σ исчезают. К такому виду приводят любое нормальное распределение заменой переменной, чтобы пользоваться единой таблицей функции Лапласа Φ.

Важное свойство Лапласа: Φ(−x) = 1 − Φ(x).

📐 Разбор формулы:

• Φ (большая «фи») — табличная функция Лапласа в этой её форме (значения от 0,5 до 1);
• x — положительный аргумент; −x — тот же аргумент с обратным знаком.

Как работает: в таблице приведены значения только для x ≥ 0 (от 0,5 при x = 0 и выше). Чтобы найти значение для отрицательного аргумента, которого в таблице нет, используют это свойство симметрии: значение для −x равно единице минус значение для x.

Оно нужно, потому что табличные значения интегральной функции начинаются с 0,5 (при x=0) и растут к 1. Если требуется значение для отрицательного аргумента (его в таблице нет), применяют это свойство.

🗣 Преподаватель сказал: таблицы бывают разные, и под другую таблицу работает другое свойство. Работать нужно строго с той таблицей, что выдана в курсе, — иначе значения и правило пересчёта не совпадут.

Вероятность попадания в интервал

Для непрерывных величин строгие и нестрогие знаки равносильны (вероятность одной точки равна нулю). Общая формула для нормального распределения:

P(α < X < β) = Φ((β − a)/σ) − Φ((α − a)/σ).

📐 Разбор формулы:

• X — нормально распределённая величина; α, β — границы интервала;
• P(α < X < β) — вероятность попадания величины в интервал;
• a — математическое ожидание, σ — среднеквадратичное отклонение;
• Φ — функция Лапласа; (β−a)/σ, (α−a)/σ — стандартизованные границы.

Как работает: границы переводят в стандартизованный вид (вычитают центр a и делят на σ), чтобы воспользоваться единой таблицей. Разность Φ от верхней и нижней границ даёт накопленную вероятность между ними — как и в общем правиле F(b) − F(a).

Для стандартного распределения (a=0, σ=1) она вырождается в Φ(β) − Φ(α).

Шаг к закону больших чисел: неравенство Маркова

Дальше начинается тема «закон больших чисел и предельные теоремы» — про то, что происходит при большом числе испытаний и больших величинах. Первый кирпичик — неравенство Маркова (теорема, берём в готовом виде).

Формулировка: если X — неотрицательная случайная величина с конечным математическим ожиданием, то для любого положительного ε:

P(X > ε) ≤ M(X) / ε.

📐 Разбор формулы:

• X — неотрицательная случайная величина с конечным средним;
• ε («эпсилон») — положительный порог;
• P(X > ε) — вероятность того, что величина превысит порог ε;
• M(X) — математическое ожидание величины;
• ≤ — «не больше».

Как работает: неравенство даёт верхнюю оценку вероятности большого значения, зная только среднее. Чем дальше порог ε от среднего M(X), тем меньше шанс его превысить (отношение M(X)/ε уменьшается). Это позволяет грубо оценивать вероятности, не зная точного распределения.

Смысл: вероятность того, что неотрицательная величина превзойдёт порог ε, не больше, чем отношение её мат. ожидания к этому порогу.

➕ Преподаватель не упомянул: следствие — если M(X) = 0 для неотрицательной X, то X = 0 с вероятностью 1 (величина почти наверное равна нулю).

Зачем нужно: позволяет оценивать вероятности и связанные величины, когда точное распределение неизвестно, — отсюда и применение в задачах про большие совокупности (вкладчики банка, опоздания студентов).

Организационное начало

Продолжаем тему «основные законы распределения непрерывной случайной величины». Уже разобрано равномерное распределение; функция плотности f(x) ставит каждому возможному значению величины значение плотности вероятности. Осталось два закона — экспоненциальное и нормальное распределение; ими и занимаемся, а в конце начинаем закон больших чисел.

Опорная связь, на которой всё строится: производная интегральной функции распределения F(x) даёт плотность f(x); обратно — F(x) находится интегрированием f(x).

1. Экспоненциальное (показательное) распределение

Обозначение и параметр. X ~ Exp(λ). Параметр λ в скобках однозначно определяет распределение (как и для равномерного, и для дискретных величин параметр в скобках задаёт закон).

Плотность вероятности (два куска):

• f(x) = 0 при x < 0;
• f(x) = λ·e^(−λx) при x ≥ 0.

📐 Разбор формулы:

• f(x) — плотность экспоненциального распределения;
• λ («лямбда») — параметр (интенсивность событий); e — число ≈ 2,7;
• e^(−λx) — убывающая экспонента; x ≥ 0 — величина неотрицательна (обычно время).

Как работает: плотность наибольшая в нуле и быстро убывает: чем больше времени прошло, тем менее вероятно событие именно в этот момент. Множитель λ обеспечивает, что площадь под графиком равна 1.

Вывод функции распределения F(x) интегрированием по кускам.

• При x < 0: интеграл от −∞ до 0 от нулевой плотности → 0. Значит F(x) = 0.
• При x ≥ 0: F(x) = (интеграл от −∞ до 0, равный 0) + (интеграл от 0 до x от λ·e^(−λt) dt).

Техника вычисления: λ — постоянный множитель, выносим за интеграл; экспонента при интегрировании не меняется, но из-за множителя (−λ) перед переменной нужно поделить на (−λ); подставляем пределы 0 и x.

Замечание преподавателя: внутри интеграла переменную обозначаем t (а не x), так как x стоит в пределе и результат должен быть функцией от x.

После сокращения λ остаётся минус; раскрываем скобку: получается −1·(e^(−λx) − e^0) = −(e^(−λx) − 1). Поскольку e^0 = 1, после внесения знака внутрь скобки:

Итог: F(x) = 0 при x ≤ 0 и F(x) = 1 − e^(−λx) при x > 0.

📐 Разбор формулы:

• F(x) — функция распределения экспоненциальной величины;
• λ — параметр; e^(−λx) — убывающая экспонента; 1 − e^(−λx) — накопленная вероятность к моменту x.

Как работает: F(x) — результат интегрирования плотности. С ростом x экспонента стремится к нулю, и F растёт от 0 к 1. По смыслу это вероятность того, что событие наступит не позже момента x.

Знаки границ: для интегральной функции в нуле граница нестрогая со стороны нуля и строгая (x > 0) для значащей части.

Проверка: производная от F(x) снова даёт f(x).

Графики. Плотность f(x) максимальна в нуле (отсюда мода = 0 — наиболее вероятное значение совпадает с максимумом плотности). Интегральная F(x) возрастающая, асимптотически приближается к 1 на бесконечности.

Числовые характеристики (в готовом виде):

• M(X) = 1/λ;
• D(X) = 1/λ²;
• σ = √D = 1/λ.

📐 Разбор формул:

• λ — параметр (интенсивность); M(X) — среднее, D(X) — дисперсия, σ — отклонение;
• M(X) = 1/λ — среднее время до события; D(X) = 1/λ²; σ = 1/λ.

Как работает: чем выше интенсивность λ, тем меньше среднее время ожидания 1/λ. Примета закона: M(X) и σ совпадают (оба 1/λ) — удобный признак правильности расчёта.

Особенность: σ и M(X) совпадают.

Где используется: ожидание в очереди, время обслуживания клиентов, длительность телефонного разговора.

Пример 1. Длительность телефонного разговора

Условие: время телефонного разговора распределено по показательному закону, средняя продолжительность 3 минуты. Найти вероятность, что произвольный разговор продлится не более 9 минут.

Дано. Средняя продолжительность = математическое ожидание: M(X) = 3.

Находим параметр λ. Из M(X) = 1/λ = 3 получаем λ = 1/3.

Записываем законы.

• Плотность: f(x) = 0 при x < 0; f(x) = (1/3)·e^(−(1/3)x) при x ≥ 0.
• Интегральная: F(x) = 0 при x ≤ 0; F(x) = 1 − e^(−(1/3)x) при x > 0.

Вычисление вероятности. Не более 9 минут, а время неотрицательно, значит P(0 < X < 9) = F(9) − F(0).

• F(9) = 1 − e^(−(1/3)·9) = 1 − e^(−3);
• F(0) = 0 (важно: в нуле значащая часть даёт ноль, единица не появляется).

По ходу разбора преподаватель поправил себя: сначала ошибочно подставил для F(0) выражение 1 − e^0, из-за чего «вышло отрицательное» — признак ошибки. На самом деле F(0) = 0.

Ответ: P = 1 − e^(−3) = 1 − 1/e³ ≈ 0,95. Вероятность высокая.

2. Нормальное распределение

Где возникает: когда на результат влияет очень большое число разнообразных факторов, ни один из которых выделить нельзя. Считается самым распространённым.

Обозначение: X ~ N(a, σ²).

Плотность вероятности:

f(x) = (1 / (σ·√(2π))) · e^(−(x−a)² / (2σ²)).

📐 Разбор формулы:

• f(x) — плотность нормального распределения;
• a — параметр сдвига (равен M(X)); σ — отклонение (σ² — дисперсия);
• π — число пи; √(2π) — нормирующий множитель;
• (x−a)² — квадрат отклонения от центра; e^(−(x−a)²/(2σ²)) — экспонента «колокола».

Как работает: коэффициент 1/(σ√(2π)) подобран так, чтобы площадь под кривой была 1. Экспонента максимальна при x = a и спадает симметрично по обе стороны — отсюда колокол. Параметр σ задаёт ширину кривой: больше σ — кривая шире и ниже.

Интегральная функция имеет тот же коэффициент 1/(σ√(2π)) и под интегралом ту же экспоненту с переменной t (минус (t−a)² на 2σ²).

Параметры:

• M(X) = a;
• D(X) = σ²;
• распределение однозначно определяется мат. ожиданием a и дисперсией σ².

График — кривая Гаусса. Симметрична относительно a. Правило «плюс-минус сигма»: основные значения лежат в интервале a ± σ. Максимум плотности равен 1/(σ·√(2π)).

Влияние параметров на вид кривой:

• a сам вид не меняет, лишь смещает кривую вправо-влево;
• при росте σ максимум убывает, кривая становится более пологой и прижимается к оси;
• при уменьшении σ кривая островершинная и вытягивается вверх.

Общие факты: площадь под кривой плотности всегда равна 1. Для нормального распределения коэффициент асимметрии и эксцесс равны нулю (нормальное берётся за эталон при сравнении скошенности — асимметрия — и остроты/плоскости — эксцесс).

Стандартное нормальное распределение

Частный случай: a = 0, σ² = 1, то есть N(0, 1).

• Плотность: f(x) = (1/√(2π))·e^(−x²/2).

📐 Разбор формулы:

• f(x) — плотность стандартного нормального распределения;
• x — стандартизованное значение (центр a = 0, σ = 1);
• π — число пи; √(2π) — нормирующий множитель; e^(−x²/2) — колокол с центром в нуле.

Как работает: это нормальное распределение при a = 0 и σ = 1 — слагаемые с a и σ исчезают. К такому виду приводят любое нормальное распределение, чтобы пользоваться единой таблицей функции Лапласа.

• Интегральная функция: (1/√(2π))·(интеграл от −∞ до x от e^(−t²/2) dt). Этот интеграл неберущийся, вычислен приближённо через функцию Лапласа Φ с аргументом x; для расчётов используются таблицы.

Свойство функции Лапласа: Φ(−x) = 1 − Φ(x) (применяем, когда аргумент отрицательный).

📐 Разбор формулы:

• Φ (большая «фи») — табличная функция Лапласа в этой форме (значения от 0,5 до 1);
• x — положительный аргумент; −x — он же со знаком минус.

Как работает: в таблице есть значения только для x ≥ 0. Для отрицательного аргумента, которого в таблице нет, применяют это свойство симметрии: значение для −x равно единице минус значение для x.

Таблицы

Две таблицы: одна для функции плотности стандартного нормального распределения (значения убывают, как и график), другая — для интегральной функции (значения от 0,5 до 1). Если требуется значение для аргумента, дающего интегральную функцию меньше 0,5, используют свойство Φ(−x) = 1 − Φ(x).

Преподаватель подчёркивает: таблицы у разных авторов разные, и под другую таблицу действует другое свойство. Работать только с таблицами, выданными в курсе.

Вероятность попадания в интервал

Для непрерывных величин строгие и нестрогие знаки равносильны.

• Нестандартное распределение: P(α < X < β) = Φ((β − a)/σ) − Φ((α − a)/σ).
• Стандартное распределение: P(α < X < β) = Φ(β) − Φ(α).

📐 Разбор формулы:

• X — нормальная величина; α, β — границы интервала;
• P(α < X < β) — вероятность попадания в интервал;
• a — математическое ожидание, σ — отклонение; Φ — функция Лапласа;
• (β−a)/σ, (α−a)/σ — стандартизованные границы.

Как работает: границы переводят в стандартизованный вид (вычитают центр a, делят на σ), чтобы пользоваться единой таблицей Φ. Разность Φ верхней и нижней границ даёт вероятность между ними. Для уже стандартного распределения (a = 0, σ = 1) деление и вычитание не нужны.

Пример 2. Стоимость офисных помещений

Условие: стоимость офисных помещений одного класса имеет нормальное распределение со средней стоимостью 30 денежных единиц и средним квадратичным отклонением 10. Найти вероятность, что стоимость будет от 10 до 50.

Дано. a = M(X) = 30; σ = 10; D = σ² = 100. Распределение нестандартное.

Применяем общую формулу: P(10 < X < 50) = Φ((50 − 30)/10) − Φ((10 − 30)/10).

Здесь β = 50 (верхняя граница), α = 10 (нижняя граница), a = 30, σ = 10.

• (50 − 30)/10 = 20/10 = 2;
• (10 − 30)/10 = −20/10 = −2.

Для аргумента −2 значения в таблице нет → свойство Φ(−2) = 1 − Φ(2). Тогда:

P = Φ(2) − (1 − Φ(2)) = 2·Φ(2) − 1.

По таблице: Φ(2) = 0,9772 (берём столбец для целого значения «2,0»).

P = 2·0,9772 − 1 = 0,9544.

Ответ: P ≈ 0,95 — с высокой вероятностью стоимость будет от 10 до 50.

Повторное пояснение по таблице (по вопросу из аудитории): ищем значение аргумента X = 2; столбец «0» соответствует второму знаку после запятой, равному нулю (для 2,2 взяли бы соседний столбец). Если бы значение брали из другой таблицы, оно было бы иным — важно работать со «своей» таблицей и «своим» свойством.

3. Начало темы «Закон больших чисел». Неравенство Маркова

Далее — раздел «закон больших чисел и предельные теоремы»: важные результаты для случаев, когда величины большие и число испытаний велико. Перед самим законом рассматриваются два неравенства; первое — неравенство Маркова (теорема, в готовом виде).

Формулировка. Если X — неотрицательная случайная величина, имеющая конечное математическое ожидание, то для любого положительного ε:

P(X > ε) ≤ M(X) / ε.

📐 Разбор формулы:

• X — неотрицательная величина с конечным средним; ε («эпсилон») — положительный порог;
• P(X > ε) — вероятность превысить порог ε;
• M(X) — математическое ожидание; ≤ — «не больше».

Как работает: неравенство даёт верхнюю оценку вероятности большого значения, зная только среднее. Чем дальше порог ε от среднего, тем меньше шанс его превысить. Это позволяет грубо оценивать вероятности без знания точного распределения.

Вероятность того, что величина превзойдёт ε, не превосходит отношения мат. ожидания к ε.

Следствие. Если M(X) = 0, то X = 0 с вероятностью 1 (для неотрицательной величины).

Пример 3. Число вкладчиков банка

Условие: сумма вкладов населения в коммерческом банке в среднем 6 млн руб. Вероятность того, что случайный вклад не превысит 50 000 руб, равна 0,85. С помощью неравенства Маркова оценить вероятное число вкладчиков N.

Разбор данных.

• N — число вкладчиков (положительная величина);
• X — размер случайно выбранного вклада;
• M(X) — средний размер одного вклада = (сумма вкладов)/N = 6 000 000 / N;
• дано: P(X ≤ 50 000) = 0,85.

Применение неравенства. Неравенство Маркова даёт оценку для P(X > 50 000):

P(X > 50 000) ≤ M(X) / 50 000.

Событие «X ≤ 50 000» противоположно «X > 50 000», поэтому:

P(X ≤ 50 000) = 1 − P(X > 50 000) ≥ 1 − M(X)/50 000.

(Знак неравенства меняется из-за минуса перед вероятностью.)

Подстановка. M(X) = 6 000 000 / N. Тогда

1 − (6 000 000 / N)/50 000 = 1 − 120/N.

Итак: 0,85 = P(X ≤ 50 000) ≥ 1 − 120/N, то есть 1 − 120/N ≤ 0,85.

Решаем относительно N.

• 1 − 0,85 ≤ 120/N → 0,15 ≤ 120/N;
• N — положительная величина, решаем по пропорции: N ≤ 120/0,15;
• N ≤ 800.

Ответ: вкладчиков в банке не больше 800 человек.

Смысловое замечание: банк по накопленной статистике (средняя сумма вкладов, экспериментально оценённая вероятность) прогнозирует возможное число вкладчиков. Неравенство Маркова даёт верхнюю оценку, поскольку речь о больших числах — это одна из теорем в составе закона больших чисел. Фактически может быть и иначе (например 1000), но наиболее вероятная оценка — до 800.

Пример 4. Опоздание студентов

Условие: среднее время опоздания студентов на занятие 2 минуты. Оценить вероятность, что случайно выбранный студент опоздает более чем на 10 минут (неравенство Маркова).

Дано. Среднее время опоздания = M(X) = 2; X — время опоздания случайного студента.

Применение. Нужна P(X > 10):

P(X > 10) ≤ M(X)/10 = 2/10 = 0,2.

Ответ: вероятность опоздания более чем на 10 минут не превосходит 0,2. (Образно: не более примерно двух из десяти опоздают более чем на 10 минут.)

Преподаватель отмечает: неравенство Маркова — простая, но удобная формула; на конкретных задачах видно, как оно помогает оценивать практически полезные вещи и делать планирование, хотя вероятность есть вероятность — событие может произойти, а может и нет.

Что дальше

Следующее неравенство — неравенство Чебышёва — на этом занятии не начинали; с него продолжим в следующий раз, далее — сам закон больших чисел и предельные теоремы.