Входим через Telegram…
Конспект и транскрипт одним файлом
Загрузите его в ChatGPT, Claude или NotebookLM и спрашивайте по занятию: что говорили про задания и сроки, объясни непонятную тему, составь вопросы для повторения.
На занятии закрыли тему числовых характеристик и перешли к законам распределения непрерывных случайных величин.
К девятой лекции мы уже умеем считать математическое ожидание, дисперсию и центральные моменты. Осталась одна характеристика формы — эксцесс. Если асимметрия отвечает на вопрос «насколько распределение скошено влево или вправо», то эксцесс отвечает на вопрос «насколько вершина графика плотности острая или плоская».
Эксцесс считается через центральный момент четвёртого порядка $\mu_4$:
$$E = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3.$$
📐 Разбор формулы:
- E — эксцесс (мера остроты/плоскости вершины распределения);
- μ₄ («мю-четыре») — центральный момент 4-го порядка, M[(X−M[X])⁴] (среднее четвёртой степени отклонения от среднего);
- σ⁴ — среднеквадратичное отклонение в четвёртой степени (для обезразмеривания);
- −3 — поправка, обнуляющая эксцесс у нормального распределения.
Как работает: μ₄ сильно реагирует на крупные отклонения (хвосты), а деление на σ⁴ убирает зависимость от единиц измерения. У нормального распределения μ₄/σ⁴ = 3, поэтому тройку вычитают — так нормальное берётся за эталон с E = 0. Положительный E — острая вершина, отрицательный — плоская.
Разберём формулу по частям. $\mu_4$ — это среднее значение четвёртой степени отклонения величины от своего математического ожидания, то есть $M\big[(X - M[X])^4\big]$. Чтобы характеристика была безразмерной (не зависела от единиц измерения), момент делят на среднеквадратическое отклонение в четвёртой степени $\sigma^4$. А тройку вычитают по специальной причине.
🗣 Преподаватель сказал: этот коэффициент ввёл Пирсон. Для нормального распределения отношение $\mu_4 / \sigma^4$ как раз равно трём — поэтому тройку и вычитают, чтобы у эталонного нормального распределения эксцесс получился ровно нулём.
Идея в том, что эксцесс измеряет отклонение от нормального распределения как эталона. Нормальное распределение — главное для непрерывных величин, поэтому форму всех остальных удобно сравнивать именно с ним.
💡 Понятнее: саму величину $\mu_4 / \sigma^4$ (ещё без вычитания тройки) называют куртозисом — от слова «крутизна» (греч. kurtos — выпуклый). Эксцесс — это куртозис минус 3, то есть «избыток крутизны» по сравнению с нормальным распределением.
Рядом стоит коэффициент асимметрии — он строится так же, но через момент третьего порядка:
$$A = \frac{\mu_3}{\sigma^3}.$$
📐 Разбор формулы:
- A — коэффициент асимметрии (мера скошенности распределения);
- μ₃ («мю-три») — центральный момент 3-го порядка, M[(X−M[X])³] (среднее третьей степени отклонения от среднего);
- σ³ — среднеквадратичное отклонение в третьей степени (для обезразмеривания).
Как работает: третья степень нечётная, поэтому отклонения влево и вправо сохраняют знак и не гасят друг друга. У симметричного распределения положительные и отрицательные кубы компенсируются, и A = 0. Если длинный хвост тянется вправо — A > 0, влево — A < 0.
Здесь $\mu_3 = M\big[(X - M[X])^3\big]$. Третья степень нечётная, поэтому отклонения влево и вправо не «съедают» друг друга, а сохраняют знак: если распределение симметрично, положительные и отрицательные кубы отклонений компенсируются и $A = 0$. Если хвост тянется вправо — $A > 0$, влево — $A < 0$.
Возьмём простую плотность:
$$f(x) = \begin{cases} \tfrac{1}{2}, & 0 \le x \le 2, \ 0, & \text{иначе.} \end{cases}$$
Это постоянная плотность на отрезке $[0; 2]$ — забегая вперёд, это и есть равномерное распределение.
Шаг 1. Математическое ожидание. Интегрируем только там, где плотность не ноль (на $[0;2]$):
$$M[X] = \int_0^2 x \cdot \tfrac{1}{2},dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{2} = 1.$$
Единица — это ровно середина отрезка $[0;2]$, что логично для постоянной плотности.
⚠️ Уточнение: легко ошибиться с верхним пределом интеграла. Брать нужно именно $[0;2]$ — на этом отрезке плотность ненулевая. Подставляем верхний предел $x = 2$, нижний $x = 0$.
Шаг 2. Центральный момент третьего порядка.
$$\mu_3 = \int_0^2 (x-1)^3 \cdot \tfrac{1}{2},dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{(x-1)^4}{4}\Big|_0^2 = \tfrac{1}{8}\Big[(2-1)^4 - (0-1)^4\Big] = \tfrac{1}{8}(1 - 1) = 0.$$
Момент третьего порядка нулевой, значит и асимметрия $A = 0$: числитель — ноль, знаменатель уже неважен. Распределение симметрично относительно своего центра $x = 1$.
Шаг 3. Центральный момент четвёртого порядка.
$$\mu_4 = \int_0^2 (x-1)^4 \cdot \tfrac{1}{2},dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{(x-1)^5}{5}\Big|_0^2 = \tfrac{1}{10}\Big[(2-1)^5 - (0-1)^5\Big].$$
Здесь важна нечётная пятая степень: $(0-1)^5 = -1$, и минус на минус даёт плюс, поэтому в скобках получается $1 - (-1) = 2$:
$$\mu_4 = \tfrac{1}{10}\cdot 2 = \tfrac{1}{5} = 0{,}2.$$
Шаг 4. Дисперсия и сигма. Для эксцесса нужно $\sigma^4$, а значит — дисперсия. Считаем её через формулу $D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$.
Сначала $M[X^2]$:
$$M[X^2] = \int_0^2 x^2 \cdot \tfrac{1}{2},dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{8}{3} = \frac{4}{3}.$$
Тогда
$$D[X] = \frac{4}{3} - 1^2 = \frac{1}{3}, \qquad \sigma = \sqrt{\tfrac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Шаг 5. Сам эксцесс.
$$E = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{1/5}{(1/\sqrt{3})^4} - 3.$$
Знаменатель: $\big(1/\sqrt{3}\big)^4 = 1/3^2 = 1/9$. Делить на $1/9$ — то же, что умножить на $9$:
$$E = \frac{1}{5}\cdot 9 - 3 = \frac{9}{5} - 3 = \frac{9 - 15}{5} = -\frac{6}{5}.$$
Эксцесс отрицательный — распределение плосковершинное. И это видно по графику: плотность $f(x)$ — это просто горизонтальная «полочка» высотой $\tfrac{1}{2}$ над отрезком $[0;2]$ и ноль вне его. Вершина абсолютно плоская, никакого пика, симметрия относительно $x = 1$. Поэтому $A = 0$ и $E < 0$ — ровно то, что мы и получили.
Теперь видно, что разобранный пример — частный случай равномерного распределения. Оно обозначается $U[a;b]$: параметры $a$ и $b$ — концы отрезка, и их достаточно, чтобы полностью задать закон.
Плотность постоянна внутри отрезка и равна нулю снаружи:
$$f(x) = \begin{cases} 0, & x < a, \ \dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b, \ 0, & x > b. \end{cases}$$
📐 Разбор формулы:
- f(x) — плотность равномерного распределения;
- a, b — концы отрезка (a левый, b правый);
- 1/(b−a) — постоянная высота «полочки» на отрезке [a; b];
- 0 — плотность вне отрезка.
Как работает: у равномерного распределения все значения на отрезке равновозможны, поэтому плотность постоянна. Высота 1/(b−a) подобрана так, чтобы площадь прямоугольника (основание b−a на высоту) равнялась 1 — как и требует условие нормировки для любой плотности.
Высота полочки $\tfrac{1}{b-a}$ подобрана так, чтобы площадь под графиком равнялась единице (как и положено любой плотности).
Функция распределения $F(x)$ (интегральная) получается интегрированием плотности и линейно растёт от 0 до 1:
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \le a, \ \dfrac{x-a}{b-a}, & a < x \le b, \ 1, & x > b. \end{cases}$$
📐 Разбор формулы:
- F(x) — функция распределения равномерной величины;
- a, b — концы отрезка; x — текущая точка;
- (x−a)/(b−a) — доля отрезка, пройденная от a до x;
- 0 и 1 — значения левее a и правее b.
Как работает: функция получается интегрированием постоянной плотности, поэтому растёт линейно. На отрезке она показывает, какую долю длины [a; b] мы уже прошли: например, на середине отрезка F = 0,5. Левее отрезка вероятность ещё не накоплена (0), правее — накоплена полностью (1).
⚠️ Уточнение: обратите внимание на строгие и нестрогие неравенства. По определению функция распределения — это вероятность $P(X < x)$ со строгим неравенством, поэтому на границах знаки расставлены аккуратно и должны быть согласованы; двух знаков «равно» на одной границе быть не может.
Числовые характеристики (выводятся по определению через интегралы, но удобно брать готовыми):
$$M[X] = \frac{a+b}{2}, \qquad D[X] = \frac{(b-a)^2}{12}.$$
📐 Разбор формул:
- M[X] — математическое ожидание равномерной величины;
- D[X] — её дисперсия;
- a, b — концы отрезка; (a+b)/2 — середина отрезка; (b−a) — его длина.
Как работает: так как плотность симметрична, среднее приходится ровно на середину отрезка (a+b)/2. Дисперсия зависит только от длины отрезка: чем он шире, тем больше разброс, причём растёт он как квадрат длины (деление на 12 — результат интегрирования).
Математическое ожидание — середина отрезка (для нашего примера $a=0$, $b=2$ дало $M[X]=1$, что и сошлось).
Классическое применение равномерного распределения. Интервал движения автобусов 10 минут, пассажир приходит на остановку в случайный момент. Время ожидания $X$ равномерно распределено на $[0; 10]$, то есть $a = 0$, $b = 10$.
Плотность: $f(x) = \tfrac{1}{10}$ при $0 \le x \le 10$ и ноль вне.
Среднее время ожидания — это математическое ожидание:
$$M[X] = \frac{0 + 10}{2} = 5 \text{ минут.}$$
Разброс. Дисперсия $D[X] = \dfrac{(10-0)^2}{12} = \dfrac{100}{12} = \dfrac{25}{3}$, отсюда
$$\sigma = \sqrt{\tfrac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \approx \frac{5}{1{,}7} \approx 2{,}9 \text{ минуты.}$$
То есть среднее ожидание — 5 минут, с разбросом примерно $\pm 2{,}9$ минуты.
Вероятность ждать не более 3 минут считается через функцию распределения как $P(0 \le X \le 3)$:
$$P = F(3) - F(0) = \frac{3 - 0}{10 - 0} - 0 = \frac{3}{10} = 0{,}3,$$
то есть 30%.
💡 Понятнее: почему вообще ожидание автобуса равномерно? Расписание задаёт интервал, но автобус может прийти чуть раньше или позже из-за случайных причин, а пассажир приходит на остановку в произвольный момент. В сумме момент прихода относительно следующего автобуса оказывается «равновозможным» на всём интервале — это и есть равномерное распределение.
Занятие началось с того, что осталось дорассказать про последнюю характеристику формы распределения — эксцесс.
Эксцесс оценивает «пикообразность» — насколько острая или плоская вершина графика плотности. Формула:
$$E = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3,$$
📐 Разбор формулы:
- E — эксцесс (мера остроты/плоскости вершины);
- μ₄ — центральный момент 4-го порядка, M[(X−M[X])⁴];
- σ⁴ — среднеквадратичное отклонение в четвёртой степени (для обезразмеривания);
- −3 — поправка, обнуляющая эксцесс у нормального распределения.
Как работает: μ₄ чувствителен к крупным отклонениям (хвостам), деление на σ⁴ убирает зависимость от единиц. У нормального распределения μ₄/σ⁴ = 3, поэтому тройку вычитают, чтобы эталон имел E = 0. E > 0 — острая вершина, E < 0 — плоская.
где $\mu_4$ — центральный момент четвёртого порядка. Деление на $\sigma^4$ делает величину безразмерной. Коэффициент ввёл Пирсон. Тройка вычитается потому, что для нормального распределения отношение $\mu_4/\sigma^4$ равно трём — значит, у нормального распределения эксцесс равен нулю, и эксцесс измеряет отклонение формы от нормального.
Отношение $\mu_4/\sigma^4$ (без вычитания тройки) называется куртозисом (от «крутизны»). Знак эксцесса:
Коэффициент асимметрии строится аналогично через момент третьего порядка: $A = \mu_3/\sigma^3$.
📐 Разбор формулы:
- A — коэффициент асимметрии (мера скошенности);
- μ₃ — центральный момент 3-го порядка, M[(X−M[X])³];
- σ³ — среднеквадратичное отклонение в третьей степени (для обезразмеривания).
Как работает: нечётная третья степень сохраняет знак отклонений. У симметричного распределения кубы отклонений влево и вправо компенсируются, и A = 0. Хвост вправо даёт A > 0, влево — A < 0.
Условие. Дана плотность $f(x) = \tfrac{1}{2}$ при $0 \le x \le 2$ и $f(x) = 0$ в остальных случаях. Требуется найти коэффициент асимметрии и эксцесс.
Для этого нужны центральные моменты 3-го и 4-го порядка, а перед этим — математическое ожидание.
Математическое ожидание (интегрируем по $[0;2]$, где плотность ненулевая):
$$M[X] = \int_0^2 \tfrac{1}{2},x,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_0^2 = 1.$$
Преподаватель по ходу решения исправила ошибку: сначала случайно поставила верхним пределом $1/2$, но затем заметила, что величина задана на $[0;2]$, и поправила пределы на $[0;2]$ всюду. Итог по математическому ожиданию остался верным — единица.
Центральный момент третьего порядка:
$$\mu_3 = \int_0^2 \tfrac{1}{2},(x-1)^3,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{(x-1)^4}{4}\Big|_0^2 = \tfrac{1}{8}\big[(2-1)^4 - (0-1)^4\big] = \tfrac{1}{8}(1-1) = 0.$$
Значит, коэффициент асимметрии $A = 0$: числитель нулевой. Распределение симметрично относительно $x=1$ (середина отрезка), плотность постоянна — отклонения от математического ожидания симметричны.
Центральный момент четвёртого порядка:
$$\mu_4 = \int_0^2 \tfrac{1}{2},(x-1)^4,dx = \tfrac{1}{10}\big[(2-1)^5 - (0-1)^5\big] = \tfrac{1}{10}(1-(-1)) = \tfrac{1}{10}\cdot 2 = \tfrac{1}{5} = 0{,}2.$$
Здесь обратили внимание: степень пятая (нечётная), $(0-1)^5 = -1$, минус на минус даёт плюс, поэтому в скобках $2$.
Дисперсия (нужна для $\sigma$) по формуле $D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$:
$$M[X^2] = \int_0^2 \tfrac{1}{2},x^2,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{8}{3} = \frac{4}{3},$$
$$D[X] = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}, \qquad \sigma = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Вопрос из аудитории: зачем считали дисперсию? Ответ: чтобы получить среднеквадратическое отклонение $\sigma$ (корень из дисперсии), без которого эксцесс не посчитать.
Эксцесс:
$$E = \frac{0{,}2}{(1/\sqrt{3})^4} - 3 = \frac{1/5}{1/9} - 3 = \frac{9}{5} - 3 = \frac{9-15}{5} = -\frac{6}{5}.$$
Эксцесс отрицательный — плосковершинное распределение. Это подтверждает график: $f(x)$ — горизонтальная полочка высотой $\tfrac{1}{2}$ на $[0;2]$, ноль вне отрезка, вершина абсолютно плоская, симметрия относительно $x=1$.
Далее перешли к основным законам распределения для непрерывной случайной величины. Выделяют три основных:
На этом занятии успели разобрать только равномерное.
Обозначение: $U[a;b]$, где $a$ и $b$ — концы отрезка; этих двух параметров достаточно для задания закона.
Функция плотности вероятности:
$$f(x) = \begin{cases} 0, & x < a, \ \dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b, \ 0, & x > b. \end{cases}$$
📐 Разбор формулы:
- f(x) — плотность равномерного распределения;
- a, b — концы отрезка; 1/(b−a) — постоянная высота «полочки»; 0 — вне отрезка.
Как работает: все значения на отрезке равновозможны, поэтому плотность постоянна. Высота 1/(b−a) подобрана так, чтобы площадь прямоугольника равнялась 1 (условие нормировки).
Разобранный ранее пример с $f(x)=\tfrac{1}{2}$ на $[0;2]$ — это и есть равномерное распределение: $\tfrac{1}{b-a} = \tfrac{1}{2-0} = \tfrac{1}{2}$.
Функция распределения (интегральная) — берётся в готовом виде (можно вывести интегрированием плотности):
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \le a, \ \dfrac{x-a}{b-a}, & a < x \le b, \ 1, & x > b. \end{cases}$$
📐 Разбор формулы:
- F(x) — функция распределения равномерной величины;
- a, b — концы отрезка; (x−a)/(b−a) — пройденная доля отрезка от a до x;
- 0 и 1 — значения левее a и правее b.
Как работает: интеграл постоянной плотности растёт линейно, поэтому F показывает, какую долю длины отрезка мы прошли (на середине F = 0,5). Левее отрезка вероятность ещё не накоплена, правее — накоплена полностью.
Отдельно подчёркнуто согласование строгих/нестрогих неравенств на границах: оно следует из определения функции распределения (через строгое неравенство $P(X<x)$).
Числовые характеристики (выводятся по определению через интегралы, берутся готовыми):
$$M[X] = \frac{a+b}{2}, \qquad D[X] = \frac{(b-a)^2}{12}.$$
📐 Разбор формул:
- M[X] — матожидание, D[X] — дисперсия равномерной величины;
- a, b — концы отрезка; (a+b)/2 — середина; (b−a) — длина отрезка.
Как работает: из-за симметрии плотности среднее приходится на середину (a+b)/2. Дисперсия зависит только от длины отрезка и растёт как квадрат длины (деление на 12 — результат интегрирования).
Для примера с $a=0$, $b=2$ ожидание $= 1$, что согласуется с ранее посчитанным.
Условие. Интервал движения автобусов 10 минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени. Найти: среднее время ожидания автобуса и вероятность того, что ждать придётся не более 3 минут.
Здесь $X$ — время ожидания, $a = 0$, $b = 10$.
Плотность:
$$f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \ \tfrac{1}{10}, & 0 \le x \le 10, \ 0, & x > 10. \end{cases}$$
Функция распределения:
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0, \ \tfrac{x}{10}, & 0 < x \le 10, \ 1, & x > 10. \end{cases}$$
Среднее время ожидания (математическое ожидание):
$$M[X] = \frac{0+10}{2} = 5 \text{ минут.}$$
Дисперсия и сигма:
$$D[X] = \frac{(10-0)^2}{12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}, \qquad \sigma = \sqrt{\tfrac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt 3} \approx \frac{5}{1{,}7} \approx 2{,}9 \text{ мин.}$$
Интерпретация: среднее ожидание 5 минут с разбросом примерно $\pm 2{,}9$ минуты.
Вероятность ждать не более 3 минут — через функцию распределения, $P(0 \le X \le 3)$:
$$P = F(3) - F(0) = \frac{3}{10} - 0 = 0{,}3 = 30%.$$
Обсудили практический смысл: расписание задаёт интервал, но автобус приходит чуть раньше/позже по случайным причинам, а пассажир появляется на остановке в произвольный момент — поэтому время ожидания моделируется равномерным распределением. Это полезно тем, кто планирует своё время или организует движение.
На следующем занятии начнём с экспоненциального (показательного) закона распределения, затем разберём нормальное распределение.
Загружаю транскрипт…